Ache a ordern dos inteiros 4,7 e 11 :
módulo 15

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a ordem multiplicativa de 4, 7 e 11 no grupo dos inversíveis módulo 15. Vamos usar a definição: a ordem de um elemento a módulo n é o menor inteiro positivo k tal que
a^k equiv 1 pmodn

Passo 2

Primeiro verificamos que todos são coprimos com 15, pois só assim faz sentido falar em ordem multiplicativa:
gcd(4,15)=1, gcd(7,15)=1, gcd(11,15)=1
Como todos são unidades em Z15^*, podemos calcular suas ordens.

Passo 3

Para 4 fazemos potências sucessivas até obter 1:
4^1 = 4 notequiv 1 pmod15,
4^2 = 16 equiv 1 pmod15
Logo, a ordem de 4 é 2.

Passo 4

Para 7 procedemos da mesma forma:
7^1 = 7 notequiv 1 pmod15,
7^2 = 49 equiv 4 pmod15,
7^3 = 4 cdot 7 = 28 equiv 13 pmod15,
7^4 = 13 cdot 7 = 91 equiv 1 pmod15
O menor expoente que dá 1 é 4, então a ordem de 7 é 4.

Passo 5

Para 11:
11^1 = 11 notequiv 1 pmod15,
11^2 = 121 equiv 1 pmod15
A ordem de 11 é 2.

Resposta

ord15(4)=2
ord15(7)=4
ord15(11)=2

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