Determine todos os números de três algarismos que são múltiplos, simultaneamente, de 9 e 11 .

Passo 1

O enunciado pede todos os números de três algarismos (isto é, entre 100 e 999) que sejam múltiplos simultaneamente de 9 e de 11. O conteúdo aqui é o mínimo múltiplo comum (m.m.c.) e divisão de inteiros.

Passo 2

Como queremos números que sejam múltiplos de 9 e de 11, calculamos o m.m.c. entre eles. Primeiro notamos que
gcd(9,11)=1,
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mcm(9,11)=9cdot11gcd(9,11)=991=99

Passo 3

Isso significa que todo número que seja múltiplo de 9 e de 11 é múltiplo de 99. Logo podemos escrever esses números como
N = 99,k,
para algum inteiro k.

Passo 4

Como queremos N de três algarismos, impomos
100 <= 99,k <= 999
Dividindo por 99, obtemos
10099 <= k <= 99999 Longrightarrow 1,01<= k <= 10,09
Como k é inteiro, temos k=2,3,4,5,6,7,8,9,10.

Passo 5

Substituindo cada valor de k em N=99,k, obtemos os números de três algarismos desejados:
198,;297,;396,;495,;594,;693,;792,;891,;990

Resposta

198,,297,,396,,495,,594,,693,,792,,891,,990

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