a) Resolva a equação diofantina
.
b) Determine em IN \times \mathbb{I N}) a solução (
) cuja soma
seja a menor possível.
b) Determine em IN \times \mathbb{I N}) a solução (
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Resolver a equação diofantina linear
isto é, achar todas as soluções inteiras
.
2. Entre as soluções com , escolher aquela cuja soma
seja mínima.
Para isso, vamos usar o Algoritmo de Euclides Estendido, obter uma solução particular, escrever a solução geral e depois impor ,
para encontrar o par de soma mínima.
2. Entre as soluções com
Para isso, vamos usar o Algoritmo de Euclides Estendido, obter uma solução particular, escrever a solução geral e depois impor
Passo 2
Aplicamos o Algoritmo de Euclides para
e
:
Reescrevendo o resto
como combinação de
e
:
Logo uma solução de
é
Passo 3
Multiplicando essa identidade por
, obtemos uma solução particular de
Como a solução geral da diofantina
é
isso resolve a parte (a).
Passo 4
Para a parte (b) impomos
e
:
Logo
.
Passo 5
Definimos a soma
Como
,
cresce quando
cresce. Logo a soma é mínima para o menor
, que é
. Substituindo:
Resposta
a) As soluções inteiras são
b) Em
, a solução de soma mínima é