Sejam
o conjunto dos números naturais e
uma função que satisfaz as propriedades:
1a) dado qualquer
, existe
tal que
;
2a)
está contido no conjunto imagem de
, para todo
.
Mostre que
é sobrejetora.
1a) dado qualquer
2a)
Passo 1
O enunciado define uma função
sujeita a duas condições:
- Para todo
existe tal que . - Para cada
, o conjunto
está contido em
.
Queremos mostrar que é sobrejetora, ou seja, que para todo
existe
com
.
Queremos mostrar que
Passo 2
Seja
arbitrário. Pela condição (1), como a imagem de
é não limitada acima, existe
tal que
Passo 3
Pela condição (2), temos
Como
, segue
. Logo
.
Passo 4
Da inclusão
conclui-se que existe
tal que
Como
foi escolhido de modo arbitrário, isso demonstra que todo elemento de
tem um antecessor por
.
Resposta
A função
é sobrejetora.