Sejam N o conjunto dos números naturais e f: N N uma função que satisfaz as propriedades:
1a) dado qualquer m in N, existe n in N tal que f(n) >= m;
2a) Ar=s in N ; s <= f(r) está contido no conjunto imagem de f, para todo r in N.
Mostre que f é sobrejetora.

Passo 1

O enunciado define uma função fcolon NtoN sujeita a duas condições:
  1. Para todo minN existe ninN tal que f(n)>= m.
  2. Para cada rinN, o conjunto
Ar=,sinNmid s<= f(r)
está contido em Im(f).
Queremos mostrar que f é sobrejetora, ou seja, que para todo minN existe ninN com f(n)=m.

Passo 2

Seja minN arbitrário. Pela condição (1), como a imagem de f é não limitada acima, existe rinN tal que
f(r)>= m

Passo 3

Pela condição (2), temos
Ar=,sinNmid s<= f(r) subseteq Im(f)
Como m<= f(r), segue min Ar. Logo min Im(f).

Passo 4

Da inclusão min Im(f) conclui-se que existe ninN tal que
f(n)=m
Como m foi escolhido de modo arbitrário, isso demonstra que todo elemento de N tem um antecessor por f.

Resposta

A função f é sobrejetora.

Exercícios de Livros Relacionados