Sejam M e N os pontos médios, respectivamente, dos segmentos AB e BC, contidos numa mesma reta, sendo AB equiv BC, com A neq C. Demonstre que MN é congruente a AB.

Passo 1

O enunciado diz que A, B e C são colineares, ABequivBC e Aneq C. Além disso, M é o ponto médio de AB e N é o ponto médio de BC. Vamos usar a definição de ponto médio e a propriedade aditiva de segmentos colineares para mostrar que MNequivAB.

Passo 2

Pelo fato de M ser o ponto médio de AB, temos
AM = MB
Do mesmo modo, como N é o ponto médio de BC, segue-se
BN = NC

Passo 3

Como ABequivBC, os comprimentos satisfazem
AB = BC
Escrevendo cada lado como soma dos dois subsegmentos:
AM + MB = BN + NC
Substituindo AM=MB e BN=NC obtemos
MB + MB = BN + BN Longrightarrow 2,MB = 2,BN Longrightarrow MB = BN

Passo 4

Os pontos M, B e N são colineares, com B entre M e N. Portanto, pela propriedade aditiva de segmentos colineares,
MN = MB + BN
Substituindo BN=MB resulta
MN = MB + MB = 2,MB
Mas AB = AM + MB = MB + MB = 2,MB. Logo
MN = AB

Resposta

MN é congruente a AB.

Exercícios de Livros Relacionados