Sejam quatro pontos, A, B, C, D, dispostos sobre uma mesma reta r, nessa ordem, e tais que AB e CD sejam congruentes. Demonstre que os segmentos AD e BC têm o mesmo ponto médio.

Passo 1

Temos quatro pontos A,B,C,D colineares, nessa ordem sobre a reta r, e sabemos que ABcongCD. Queremos mostrar que o ponto médio de AD coincide com o ponto médio de BC. Para isso, vamos usar a ideia de colocar coordenadas numa reta de forma que as distâncias se transformem em diferenças de números reais.

Passo 2

Escolhemos uma aplicação bijetora phicolon rtoR que preserve ordens e distâncias (isto existe por axioma de reta ordenada/axioma de segmento). Definimos
phi(A)=0, phi(B)=s,
onde s=AB>0.
Pela disposição A- B- C- D na reta, as imagens satisfazem
0=phi(A)<phi(B)=s<phi(C)=c<phi(D)=d
Como CD=AB=s, a preservação de distâncias implica
d-c=s Longrightarrow d=c+s

Passo 3

Agora as coordenadas dos quatro pontos são
phi(A)=0, phi(B)=s, phi(C)=c, phi(D)=c+s
O ponto médio de AD tem coordenada
phi(A)+phi(D)2 = 0+(c+s)2 = c+s2
O ponto médio de BC tem coordenada
phi(B)+phi(C)2 = s+c2 = c+s2

Passo 4

Ambos os pontos médios têm a mesma coordenada tfracc+s2. Portanto, na reta r eles coincidem.

Resposta

Os segmentos AD e BC têm o mesmo ponto médio.

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