Sejam quatro pontos, , dispostos sobre uma mesma reta , nessa ordem, e tais que e CD sejam congruentes. Demonstre que os segmentos AD e BC têm o mesmo ponto médio.
Passo 1
Temos quatro pontos A,B,C,D colineares, nessa ordem sobre a reta r, e sabemos que ABcongCD. Queremos mostrar que o ponto médio de AD coincide com o ponto médio de BC. Para isso, vamos usar a ideia de colocar coordenadas numa reta de forma que as distâncias se transformem em diferenças de números reais.
Passo 2
Escolhemos uma aplicação bijetora phicolon rtoR que preserve ordens e distâncias (isto existe por axioma de reta ordenada/axioma de segmento). Definimos
phi(A)=0, phi(B)=s,
onde s=AB>0.
Pela disposição A-B-C-D na reta, as imagens satisfazem
0=phi(A)<phi(B)=s<phi(C)=c<phi(D)=d
Como CD=AB=s, a preservação de distâncias implica
d-c=s Longrightarrow d=c+s
Passo 3
Agora as coordenadas dos quatro pontos são
phi(A)=0, phi(B)=s, phi(C)=c, phi(D)=c+s
O ponto médio de AD tem coordenada
phi(A)+phi(D)2 = 0+(c+s)2 = c+s2
O ponto médio de BC tem coordenada
phi(B)+phi(C)2 = s+c2 = c+s2
Passo 4
Ambos os pontos médios têm a mesma coordenada tfracc+s2. Portanto, na reta r eles coincidem.
Resposta
Os segmentos AD e BC têm o mesmo ponto médio.
Cálculo - Osvaldo Dolce, José Nicolau Pompeo - Fundamentos de Matemática Elementar - Vol 9: Geometria Plana - 9ª Edição - Capítulo 2.Exercícios - Ex. 23