Sejam A e B subconjuntos não vazios de R. Se esses subconjuntos são limitados superiormente (respect., inferiormente) prove que:
sup (A cup B)=sup sup A, sup B ( respectivamente, inf (A cup B)=inf inf A, inf B)

Passo 1

O enunciado pede para provar que, se A e B são subconjuntos não vazios de R e estão limitados superiormente (respectivamente, inferiormente), então vale
sup(Acup B)=supsup A,sup B,
e analogamente
inf(Acup B)=infinf A,inf B
Vamos usar a definição de supremo (menor de todos os limites superiores) e de ínfimo (maior de todos os limites inferiores).

Passo 2

Defina
alpha=sup A, beta=sup B, gamma=supalpha,beta
Primeiro mostramos que gamma é um limite superior de Acup B.
  • Se xin A, então x<=alpha<=gamma.
  • Se xin B, então x<=beta<=gamma.
    Logo todo xin Acup B satisfaz x<=gamma, ou seja, gamma é um limite superior de Acup B.

Passo 3

Agora mostramos que gamma é o \emph{menor} limite superior de Acup B. Seja de<a qualquer limite superior de Acup B. Então, em particular, de<a é limite superior de A e de B, isto é,
de<a >= alpha e de<a >= beta
Assim de<a >= maxalpha,beta = gamma. Portanto gamma é realmente o menor dos limites superiores, logo
sup(Acup B) = gamma = supalpha,beta = supsup A, sup B

Passo 4

Para o ínfimo, defina
alpha'=inf A, beta'=inf B, zeta=infalpha',beta'
Mostramos que zeta é um limite inferior de Acup B.
  • Se xin A, então alpha'<= x e, como zeta<=alpha', segue zeta<= x.
  • Se xin B, então beta'<= x e zeta<=beta', logo zeta<= x.
    Assim todo xin Acup B satisfaz x>=zeta.

Passo 5

Falta ver que zeta é o \emph{maior} limite inferior de Acup B. Se y > zeta, então y > minalpha',beta'. Suponha, sem perda de generalidade, que alpha' = zeta. Como alpha' é ínfimo de A, há a in A tal que a < y. Logo y não pode ser limite inferior de Acup B. Concluímos que não existe limite inferior maior que zeta, ou seja
inf(Acup B) = zeta = infalpha',beta' = infinf A, inf B

Resposta

sup(Acup B)=supsup A,sup B, inf(Acup B)=infinf A,inf B

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