Sejam A e B subconjuntos não vazios de R. Se esses subconjuntos são limitados superiormente (respect., inferiormente) prove que:
Passo 1
O enunciado pede para provar que, se
e
são subconjuntos não vazios de
e estão limitados superiormente (respectivamente, inferiormente), então vale
e analogamente
Vamos usar a definição de supremo (menor de todos os limites superiores) e de ínfimo (maior de todos os limites inferiores).
Passo 2
Defina
Primeiro mostramos que
é um limite superior de
.
- Se
, então . - Se
, então .
Logo todosatisfaz , ou seja, é um limite superior de .
Passo 3
Agora mostramos que
é o \emph{menor} limite superior de
. Seja
qualquer limite superior de
. Então, em particular,
é limite superior de
e de
, isto é,
Assim
. Portanto
é realmente o menor dos limites superiores, logo
Passo 4
Para o ínfimo, defina
Mostramos que
é um limite inferior de
.
- Se
, então e, como , segue . - Se
, então e , logo .
Assim todosatisfaz .
Passo 5
Falta ver que
é o \emph{maior} limite inferior de
. Se
, então
. Suponha, sem perda de generalidade, que
. Como
é ínfimo de
, há
tal que
. Logo
não pode ser limite inferior de
. Concluímos que não existe limite inferior maior que
, ou seja