Se um subconjunto não vazio A subset Q admite máximo, prove que sup A=max A.

Passo 1

Resumo do enunciado e definição do que vamos usar
O problema diz que temos um subconjunto não vazio AsubsetQ que admite elemento máximo e pede para mostrar que
sup A ;=;max A
Aqui o que usamos é a definição de supremo (ou menor de todos os limites superiores) em Q: um número s é sup A se e só se
  1. s é um limitante superior de A, isto é, para todo xin A vale x<= s.
  2. s é o menor entre esses limitantes superiores, isto é, qualquer outro limitante superior u satisfaz s<= u.

Passo 2

Mostrar que o máximo é um limitante superior
Seja m=max A. Por definição de máximo temos min A e
forall,xin A:;x<= m
Isso diz exatamente que m é um limitante superior de A.

Passo 3

Mostrar que o máximo é o menor limitante superior
Agora seja u qualquer limitante superior de A. Então, como min A, necessariamente
m ;<=; u
Ou seja, m não ultrapassa nenhum outro limitante superior; portanto m é o menor dentre eles.

Passo 4

Concluir que max A satisfaz a definição de sup A
Dos passos anteriores temos:
  • m é limitante superior de A.
  • Qualquer outro limitante superior u satisfaz m<= u.
    Por definição, isso significa que m é o menor limitante superior de A, ou seja
m = sup A

Resposta

sup A=max A.

Exercícios de Livros Relacionados