Se um subconjunto não vazio
admite máximo, prove que
.
Passo 1
Resumo do enunciado e definição do que vamos usar
O problema diz que temos um subconjunto não vazio que admite elemento máximo e pede para mostrar que
O problema diz que temos um subconjunto não vazio
Aqui o que usamos é a definição de supremo (ou menor de todos os limites superiores) em
: um número
é
se e só se
-
é um limitante superior de , isto é, para todo vale . -
é o menor entre esses limitantes superiores, isto é, qualquer outro limitante superior satisfaz .
Passo 2
Mostrar que o máximo é um limitante superior
Seja . Por definição de máximo temos
e
Seja
Isso diz exatamente que
é um limitante superior de
.
Passo 3
Mostrar que o máximo é o menor limitante superior
Agora seja qualquer limitante superior de
. Então, como
, necessariamente
Agora seja
Ou seja,
não ultrapassa nenhum outro limitante superior; portanto
é o menor dentre eles.
Passo 4
Concluir que
satisfaz a definição de
Dos passos anteriores temos:
Dos passos anteriores temos:
-
é limitante superior de . - Qualquer outro limitante superior
satisfaz .
Por definição, isso significa queé o menor limitante superior de , ou seja