Sejam \vec{F}=\vec{F}_{1} i+\vec{F}_{2} j um campo vetorial contínuo definido em um conjunto aberto e conexo por caminhos \Omega de \mathbb{R}^{2} contendo a origem, cujas integrais de linha de \vec{F} independem do caminho e f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} um campo conservativo diferenciável. Mostre que o campo
\vec{G}(x, y)=f\left(\int_{\gamma_{(x, y)}} \vec{F} \cdot d \gamma\right) \vec{F}(x, y)
em que \gamma_{(x, y)} é uma curva em \Omega com ponto final (x, y) e início na origem, está bem definido para todo ponto (x, y) \in \Omega e é conservativo.

Passo 1

O enunciado diz que \vec F é contínuo em \Omega\subset\mathbb R^2, aberto e conexo por caminhos, e que as integrais de linha de \vec F independe do caminho. Além disso, temos uma função real diferenciável f:\mathbb R\to\mathbb R. Definimos então, para cada (x,y)\in\Omega,
\psi(x,y)\;=\;\int_{\gamma_{(x,y)}}\vec F\cdot d\gamma,
onde \gamma_{(x,y)} vai da origem a (x,y). O campo pedido é
\vec G(x,y)\;=\;f\bigl(\psi(x,y)\bigr)\,\vec F(x,y).
Precisamos mostrar que (i) \psi(x,y) não depende de \gamma (isto é, \vec G está bem definido) e (ii) \vec G é conservativo.

Passo 2

Como as integrais de linha de \vec F independe do caminho e \Omega é conectado por caminhos, existe uma função potencial
\varphi:\Omega\to\mathbb R,
tal que para todo (x,y)\in\Omega vale
\varphi(x,y)-\varphi(0,0) =\int_{\gamma_{(x,y)}}\vec F\cdot d\gamma.
Tomando \varphi(0,0)=0, temos
\psi(x,y)=\varphi(x,y).
Logo \psi está bem definido e, por definição de potencial,
\vec F(x,y)=\nabla\varphi(x,y).

Passo 3

A função f:\mathbb R\to\mathbb R é diferenciável em \mathbb R, logo admite uma primitiva g:\mathbb R\to\mathbb R tal que
g'(t)=f(t) \quad\text{para todo }t\in\mathbb R.
Definimos então a função
\Psi(x,y)=g\bigl(\varphi(x,y)\bigr).
Aplicando a regra da cadeia ao gradiente, obtemos
\nabla\Psi(x,y) = g'\bigl(\varphi(x,y)\bigr)\,\nabla\varphi(x,y) = f\bigl(\varphi(x,y)\bigr)\,\vec F(x,y) = \vec G(x,y).

Resposta

O campo \vec G está bem definido pois \psi(x,y)=\varphi(x,y) independe do caminho, e é conservativo porque \vec G=\nabla\Psi com \Psi(x,y)=g(\varphi(x,y)).

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