Sejam
um campo vetorial contínuo definido em um conjunto aberto e conexo por caminhos
de
contendo a origem, cujas integrais de linha de
independem do caminho e
um campo conservativo diferenciável. Mostre que o campo
em que
é uma curva em
com ponto final
e início na origem, está bem definido para todo ponto
e é conservativo.
Passo 1
O enunciado diz que
é contínuo em
, aberto e conexo por caminhos, e que as integrais de linha de
independe do caminho. Além disso, temos uma função real diferenciável
. Definimos então, para cada
,
onde
vai da origem a
. O campo pedido é
Precisamos mostrar que (i)
não depende de
(isto é,
está bem definido) e (ii)
é conservativo.
Passo 2
Como as integrais de linha de
independe do caminho e
é conectado por caminhos, existe uma função potencial
tal que para todo
vale
Tomando
, temos
Logo
está bem definido e, por definição de potencial,
Passo 3
A função
é diferenciável em
, logo admite uma primitiva
tal que
Definimos então a função
Aplicando a regra da cadeia ao gradiente, obtemos
Resposta
O campo
está bem definido pois
independe do caminho, e é conservativo porque
com
.