(UF-AM) Sendo A =(rrrrr1 & 0 & 0 & 0 & 0 -5 & 0 & 1 & 3 & 2 6 & 3 & 0 & 2 & 1 9 & 1 & 0 & 2 & 0 -1 & -1 & 0 & 1 & 0) uma matriz real, então o det A é:
a) -3
b) 3
c) 10
d) -10
e) 24

Passo 1

O enunciado pede o cálculo de det A para
A = 1 & 0 & 0 & 0 & 0 -5 & 0 & 1 & 3 & 2 6 & 3 & 0 & 2 & 1 9 & 1 & 0 & 2 & 0 -1 & -1 & 0 & 1 & 0
O conteúdo aqui é o uso da expansão de Laplace (cofator) para determinante, aproveitando linhas ou colunas com muitos zeros.

Passo 2

Observando a primeira linha de A, só o elemento a11=1 é não nulo. Pela expansão de Laplace na linha 1:
det A = 1cdot C11 com C11=(-1)^1+1det(B)=det(B),
onde B é a submatriz obtida descartando linha 1 e coluna 1.

Passo 3

Escrevendo B ( 4times 4) com as linhas 2 5 e colunas 2 5 de A:
B = 0 & 1 & 3 & 2 3 & 0 & 2 & 1 1 & 0 & 2 & 0 -1 & 0 & 1 & 0
Então det A = det B.

Passo 4

Para det B, note que a coluna 2 de B é (1,0,0,0)^T. Expandindo em Laplace pela coluna 2:
det B = (-1)^1+2cdot 1cdot det(M) = -,det(M),
onde M é a matriz 3times 3 que sobra ao excluir linha 1 e coluna 2 de B.

Passo 5

A matriz M (colunas 1,3, 4 de B nas linhas 2 4) é
M= 3 & 2 & 1 1 & 2 & 0 -1 & 1 & 0
Calculando seu determinante por regra de Sarrus ou cofactores:
det(M) =3,(2cdot0 - 0cdot1) -2,(1cdot0 - 0cdot(-1)) +1,(1cdot1 - 2cdot(-1)) =0 - 0 + (1+2) =3

Passo 6

Portanto
det B = -,det(M) = -3 Longrightarrow det A = -3

Resposta

(a) -3

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