(Fatec-SP) Em uma progressão aritmética (P.A.) crescente, o segundo, o quarto e o nono termo, nessa ordem, formam uma progressão geométrica (P.G.) de três termos.
Se o quarto termo da P.A. é igual a 10, então a razão da P.G. é:
a) 1
b) 1,5
c) 2
d) 2,5
Se o quarto termo da P.A. é igual a 10, então a razão da P.G. é:
a) 1
b) 1,5
c) 2
d) 2,5
Passo 1
O enunciado fala de uma progressão aritmética (P.A.) crescente cujo 2.º, 4.º e 9.º termos formam, nessa ordem, uma progressão geométrica (P.G.). Além disso, o 4.º termo da P.A. vale
. Queremos encontrar a razão
dessa P.G. Para isso, vamos usar a fórmula do termo geral da P.A. e a condição de que três termos estão em P.G.
Passo 2
Sejam
o primeiro termo e
a razão da P.A. Então o
-ésimo termo é
Logo o 2.º termo vale
, o 4.º termo vale
e o 9.º termo vale
. Esses três valores formam uma P.G., o que implica
Passo 3
Também sabemos que o 4.º termo da P.A. é
, ou seja,
Substituindo
na igualdade das razões da P.G., temos
isto é,
Passo 4
Multiplicando em cruz:
Como a P.A. é crescente,
, logo
. Então
Os termos da P.G. são
A razão da P.G. é
Resposta
A razão da P.G. é
, portanto a alternativa correta é a (d).