(Fatec-SP) Em uma progressão aritmética (P.A.) crescente, o segundo, o quarto e o nono termo, nessa ordem, formam uma progressão geométrica (P.G.) de três termos.
Se o quarto termo da P.A. é igual a 10, então a razão da P.G. é:
a) 1
b) 1,5
c) 2
d) 2,5

Passo 1

O enunciado fala de uma progressão aritmética (P.A.) crescente cujo 2.º, 4.º e 9.º termos formam, nessa ordem, uma progressão geométrica (P.G.). Além disso, o 4.º termo da P.A. vale 10. Queremos encontrar a razão r dessa P.G. Para isso, vamos usar a fórmula do termo geral da P.A. e a condição de que três termos estão em P.G.

Passo 2

Sejam a1 o primeiro termo e d a razão da P.A. Então o n-ésimo termo é
an = a1 + (n-1)d
Logo o 2.º termo vale a1+d, o 4.º termo vale a1+3d e o 9.º termo vale a1+8d. Esses três valores formam uma P.G., o que implica
a1+3da1+d ;=;a1+8da1+3d

Passo 3

Também sabemos que o 4.º termo da P.A. é 10, ou seja,
a1+3d = 10
Substituindo a1 = 10 - 3d na igualdade das razões da P.G., temos
10(10-3d)+d ;=;(10-3d)+8d10,
isto é,
1010-2d = 10+5d10

Passo 4

Multiplicando em cruz:
10cdot 10 = (10-2d)(10+5d)
100 = 100 +30d -10d^2
-10d^2 +30d = 0
10d(3-d)=0
Como a P.A. é crescente, d>0, logo d=3. Então
a1 = 10 - 3d = 10 -9 =1
Os termos da P.G. são
a1+d = 1+3 =4, a1+3d =10, a1+8d =25
A razão da P.G. é
r = 104 = 2,5

Resposta

A razão da P.G. é 2,5, portanto a alternativa correta é a (d).

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