Sendo z=f(s, t) o quadrado da distância entre um ponto móvel sobre a reta
x=-2+4 s, y=3+s, z=-1+5 s
e um ponto móvel sobre a reta
x=-1-2 t, y=3 t, z=3+t
mostre que essa função tem ponto crítico que é ponto de mínimo. Calcule a distância entre as retas.

Passo 1

O enunciado define duas retas em R^3:
a primeira tem ponto
r1(s)=(-2+4s,;3+s,;-1+5s)
e a segunda
r2(t)=(-1-2t,;3t,;3+t)
Queremos a função
f(s,t)=l|r1(s)-r2(t)r|^2
que é o quadrado da distância entre pontos móveis nessas retas. O objetivo é achar o ponto crítico de f, mostrar que ele é mínimo (usando o Hessiano) e então obter a distância entre as retas.

Passo 2

Calculemos a diferença em cada coordenada:
De<a x = (-2+4s)-(-1-2t)=-1+4s+2t, De<a y = (3+s)-3t=3+s-3t, De<a z = (-1+5s)-(3+t)=-4+5s-t
Logo
f(s,t) = (De<a x)^2 + (De<a y)^2 + (De<a z)^2
As derivadas parciais são
partial fpartial s =2l(4,De<a x + De<a y +5,De<a zr), partial fpartial t =2l(2,De<a x -3,De<a y -De<a zr)
Para o ponto crítico devemos ter ambas iguais a zero.

Passo 3

Igualando a zero e substituindo De<a x,De<a y,De<a z obtemos o sistema
4(-1+4s+2t)+(3+s-3t)+5(-4+5s-t)=0,
2(-1+4s+2t)-3(3+s-3t)-(-4+5s-t)=0
Expandindo e agrupando, o primeiro vira -21+42s=0 e o segundo -7+14t=0. Daí
s=tfrac12, t=tfrac12

Passo 4

No ponto l(tfrac12,tfrac12r) temos
De<a x=2, De<a y=2, De<a z=-2, logo
fl(tfrac12,tfrac12r)=2^2+2^2+(-2)^2=12
O Hessiano de f é
H= partial^2 fpartial s^2 & partial^2 fpartial s partial t [6pt] partial^2 fpartial t partial s & partial^2 fpartial t^2 = 84 & 0 [3pt] 0 & 28 ,
que é definido positivo, confirmando que o ponto crítico é um mínimo.]

Resposta

A menor distância entre as duas retas é
raiz12=2raiz3

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