Sendo o quadrado da distância entre um ponto móvel sobre a reta
e um ponto móvel sobre a reta
mostre que essa função tem ponto crítico que é ponto de mínimo. Calcule a distância entre as retas.
Passo 1
O enunciado define duas retas em :
a primeira tem ponto
e a segunda
Queremos a função
que é o quadrado da distância entre pontos móveis nessas retas. O objetivo é achar o ponto crítico de f, mostrar que ele é mínimo (usando o Hessiano) e então obter a distância entre as retas.
Passo 2
Calculemos a diferença em cada coordenada:
De<a x = (-2+4s)-(-1-2t)=-1+4s+2t, De<a y = (3+s)-3t=3+s-3t, De<a z = (-1+5s)-(3+t)=-4+5s-t
Logo
f(s,t) = (De<a x)^2 + (De<a y)^2 + (De<a z)^2
As derivadas parciais são
partial fpartial s =2l(4,De<a x + De<a y +5,De<a zr), partial fpartial t =2l(2,De<a x -3,De<a y -De<a zr)
Para o ponto crítico devemos ter ambas iguais a zero.
Passo 3
Igualando a zero e substituindo De<a x,De<a y,De<a z obtemos o sistema
4(-1+4s+2t)+(3+s-3t)+5(-4+5s-t)=0,
2(-1+4s+2t)-3(3+s-3t)-(-4+5s-t)=0
Expandindo e agrupando, o primeiro vira -21+42s=0 e o segundo -7+14t=0. Daí
s=tfrac12, t=tfrac12
Passo 4
No ponto l(tfrac12,tfrac12r) temos De<a x=2, De<a y=2, De<a z=-2, logo
fl(tfrac12,tfrac12r)=2^2+2^2+(-2)^2=12
O Hessiano de f é
H= partial^2 fpartial s^2 & partial^2 fpartial s partial t [6pt] partial^2 fpartial t partial s & partial^2 fpartial t^2 = 84 & 0 [3pt] 0 & 28 ,
que é definido positivo, confirmando que o ponto crítico é um mínimo.]
Resposta
A menor distância entre as duas retas é
raiz12=2raiz3
Cálculo - Simmons - Cálculo com Geometria Analitica - Vol 2 - 1ª Edição - Capítulo 19.19.7 - Ex. 18