Separam-se os números inteiros de 1 a 10 em dois conjuntos de 5 elementos, de modo que 1 e 8 não estejam no mesmo conjunto. Isso pode ser feito de
modos distintos. Qual é o valor de
?
Passo 1
O enunciado pede para separar os inteiros de 1 a 10 em dois conjuntos de 5 elementos cada, de forma que 1 e 8 não fiquem juntos.
Conteúdo: particionamento de um conjunto em dois subconjuntos de mesmo tamanho e contagem por combinações.
Conteúdo: particionamento de um conjunto em dois subconjuntos de mesmo tamanho e contagem por combinações.
Passo 2
Primeiro contamos todas as partições de
em dois conjuntos de 5 elementos, sem distinguir qual é qual.
O número de formas de escolher um subconjunto de 5 elementos é
O número de formas de escolher um subconjunto de 5 elementos é
mas cada partição é contada duas vezes (escolher
e a complementar
ou vice-versa), então o total de partições é
Passo 3
Agora contamos quantas dessas partições colocam 1 e 8 juntos. Se 1 e 8 estiverem no mesmo bloco de tamanho 5, precisamos escolher mais 3 elementos dentre os 8 restantes para completar esse bloco. Logo há
partições com 1 e 8 juntos.
Passo 4
Para atender à condição “1 e 8 não estejam no mesmo conjunto” subtraímos do total as partições em que eles aparecem juntos: