Separam-se os números inteiros de 1 a 10 em dois conjuntos de 5 elementos, de modo que 1 e 8 não estejam no mesmo conjunto. Isso pode ser feito de n modos distintos. Qual é o valor de n ?

Passo 1

O enunciado pede para separar os inteiros de 1 a 10 em dois conjuntos de 5 elementos cada, de forma que 1 e 8 não fiquem juntos.
Conteúdo: particionamento de um conjunto em dois subconjuntos de mesmo tamanho e contagem por combinações.

Passo 2

Primeiro contamos todas as partições de 1,2,dots,10 em dois conjuntos de 5 elementos, sem distinguir qual é qual.
O número de formas de escolher um subconjunto de 5 elementos é
binom105=252,
mas cada partição é contada duas vezes (escolher A e a complementar B ou vice-versa), então o total de partições é
12binom105=126

Passo 3

Agora contamos quantas dessas partições colocam 1 e 8 juntos. Se 1 e 8 estiverem no mesmo bloco de tamanho 5, precisamos escolher mais 3 elementos dentre os 8 restantes para completar esse bloco. Logo há
binom83=56
partições com 1 e 8 juntos.

Passo 4

Para atender à condição “1 e 8 não estejam no mesmo conjunto” subtraímos do total as partições em que eles aparecem juntos:
126 - 56 = 70

Resposta

n = 70

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