Qual seria a definição informal do limite
\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)=L ?
Por que a definição seria ‘informal’? Exemplifique. O que significa exatamente \lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)=L ?

Passo 1

O enunciado pede uma descrição informal do conceito de limite de função, isto é, explicar com palavras o que significa
\lim_{x\to x_{0}}f(x)=L
sem recorrer à formulação rigorosa de epsilon-delta. Para isso precisamos entender a ideia de vizinhanças de x_{0} e de L.

Passo 2

A definição informal diz:
“Quando x se aproxima de x_{0} (mas não necessariamente chega a x_{0}), os valores de f(x) ficam cada vez mais próximos de L.”
Em outras palavras, basta escolher um valor de x suficientemente perto de x_{0} para que f(x) fique tão perto de L quanto quisermos.

Passo 3

Chama-se essa definição de “informal” porque emprega expressões vagas como “cada vez mais perto” ou “suficientemente próximo” sem quantificar exatamente o que é “perto”. Ela capta a intuição do conceito, mas não estabelece critérios precisos de quão perto deve ser “suficientemente próximo”.

Passo 4

Exemplo: seja f(x)=x^{2}, x_{0}=2. Intuitivamente,
\lim_{x\to2}x^{2}=4
Porque se pegarmos x=2{,}1, temos f(2{,}1)=4{,}41, que já está perto de 4; se pegarmos x=1{,}99, temos f(1{,}99)=3{,}9601, ainda mais próximo de 4. Quanto mais x se aproxima de 2, mais f(x) se aproxima de 4.

Passo 5

O significado exato de \lim_{x\to x_{0}}f(x)=L é dado pela definição epsilon-delta:
\forall \varepsilon>0,\;\exists \delta>0\text{ tal que, sempre que }0<|x-x_{0}|<\delta,\;|f(x)-L|<\varepsilon.
Isto é, para qualquer tolerância \varepsilon de “quão perto queremos de L”, existe um intervalo de raio \delta em torno de x_{0} que garante essa aproximação.

Resposta

A definição informal é:
“À medida que x se aproxima de x_{0} (sem chegar necessariamente a ele), f(x) se aproxima de L.”
Ela é informal porque fala em “aproximar-se” sem quantificar “quão próximo”. Exemplo: em f(x)=x^{2}, quando x\to2, f(x)\to4 pois x cada vez mais próximo de 2 faz x^{2} ficar cada vez mais próximo de 4. Exatamente significa
\forall \varepsilon>0,\;\exists \delta>0\text{ tal que }0<|x-x_{0}|<\delta\implies|f(x)-L|<\varepsilon.

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