(Solução radial) Mostre que a única solução de \nabla^{2} u=0 dependente só de r=\sqrt{x^{2}+y^{2}} é u=a \ln r+b \operatorname{com} a e b constantes.

Passo 1

O enunciado pede todas as soluções de
\nabla^{2}u = 0
no plano que dependem apenas de r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
O conteúdo que vamos usar é a expressão do laplaciano em coordenadas polares para funções radiais e a resolução da ODE resultante.

Passo 2

Se u=u(r), então em coordenadas cartesianas
\nabla u = u'(r)\bigl(\tfrac{x}{r},\tfrac{y}{r}\bigr)
e
\nabla^{2}u = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(u'(r)\tfrac{x}{r}\bigr) + \frac{\partial}{\partial y}\bigl(u'(r)\tfrac{y}{r}\bigr) = u''(r) + \frac{1}{r}\,u'(r).

Passo 3

Impondo \nabla^{2}u=0 obtemos a ODE
u''(r)+\frac{1}{r}\,u'(r)=0.
Multiplicando por r
r\,u''(r)+u'(r)=0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{d}{dr}\bigl(r\,u'(r)\bigr)=0 \quad\Longrightarrow\quad r\,u'(r)=a,
com a constante. Logo
u'(r)=\frac{a}{r} \quad\Longrightarrow\quad u(r)=a\ln r + b,
onde b é outra constante de integração.

Resposta

A única solução radial de \nabla^{2}u=0 é
u(r)=a\ln r + b,
com a,b constantes.

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