(Solução radial) Mostre que a única solução de
dependente só de
é
e
constantes.
Passo 1
O enunciado pede todas as soluções de
no plano que dependem apenas de
.
O conteúdo que vamos usar é a expressão do laplaciano em coordenadas polares para funções radiais e a resolução da ODE resultante.
O conteúdo que vamos usar é a expressão do laplaciano em coordenadas polares para funções radiais e a resolução da ODE resultante.
Passo 2
Se
, então em coordenadas cartesianas
e
e
Passo 3
Impondo
obtemos a ODE
Multiplicando por
dá
com
constante. Logo
onde
é outra constante de integração.
Resposta
A única solução radial de
é
com
constantes.