A soma de dois números reais positivos e 12. Qual é o maior valor que o produlo desses dois números pode assumir?

Passo 1

O enunciado diz que temos dois números reais positivos x e y tais que
x + y = 12,
e quer saber qual é o maior valor que o produto xy pode assumir. É um problema de otimização de funções de uma variável, que pode ser resolvido via derivada ou via desigualdade AM–GM.

Passo 2

Como y = 12 - x, definimos a função produto
P(x) = x,y = x,(12 - x) = 12x - x^2,
com o domínio 0 < x < 12.

Passo 3

Calculamos a derivada de P para encontrar o ponto crítico:
P'(x) = 12 - 2x
Fazendo P'(x)=0 temos
12 - 2x = 0 Longrightarrow x = 6
Além disso, P''(x) = -2 < 0, confirmando que x=6 é ponto de máximo.

Passo 4

No ponto x=6 temos y=12-6=6 e então
P(6) = 6 times 6 = 36

Resposta

O maior valor que o produto pode assumir é 36.

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