Seja função f definida por.
f(x)=(2 m+1) m^2-4 x-2 m+4
Determine o número real m para que f admita os zeros x1 e x2 tais que x1 <= x2<1.

Passo 1

O enunciado dá a função quadrática
f(x) = (2m+1),x^2 ;-;4,x ;-;2m+4
e pede os valores de minR tais que as raízes reais x1<= x2 satisfaçam
x2 < 1
Para resolver, vamos usar: (i) condição de raízes reais ( De<a>=0), (ii) soma e produto das raízes, e (iii) teste para que ambas sejam menores que 1.

Passo 2

Calculemos o discriminante De<a. Aqui
a = 2m+1, b=-4, c=-2m+4,
então
De<a = b^2 - 4ac = 16 ;-;4,(2m+1)(-2m+4)
Expandindo
(2m+1)(-2m+4) = -4m^2 +6m +4,
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De<a = 16 -4l(-4m^2+6m+4r) =16 +16m^2 -24m -16 =16m^2 -24m =8m,(2m-3)
Para ter raízes reais, exigimos
De<a >= 0 Longrightarrow m(2m-3)>=0 Longrightarrow m<=0ou m>=tfrac32

Passo 3

A soma S e o produto P das raízes são
S = x1+x2 = - b a = 42m+1, P = x1x2 = c a = -2m+42m+1
Queremos ambas as raízes menores que 1 e reais.

Passo 4

Para uma parábola com a>0 (isto é, 2m+1>0iff m>-tfrac12), as duas raízes são menores que 1 se, além de De<a>=0, valer
x1+x2 < 2Long<=ftrightarrow S<2
A condição f(1)>0 torna-se automática para a>0 (e aqui de fato f(1)=1>0 independe de m), mas não distingue entre “ambas abaixo de 1” e “ambas acima de 1”. O critério decisivo é
42m+1 < 2 Long<=ftrightarrow 4 < 2,(2m+1) Long<=ftrightarrow m > tfrac12

Passo 5

Agora coletamos todas as condições:
  1. De<a>=0 m<=0 ou m>=tfrac32.
  2. a>0 m>-tfrac12.
  3. S<2 m>tfrac12.
A interseção é
m>=tfrac32

Resposta

minl[tfrac32,inftyr)

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