A sra. Marli pretende custear os estudos universitários de seu filho, estimados em R$1800,00 por mês, durante 60 meses. Para isso, ela resolve depositar reais por mês num fundo que rende juros compostos, à taxa de 1,2% a.m., num total de 48 depósitos. Sabendo-se que serão sacados R$ 1800,00 por mês desse fundo, sendo o primeiro saque realizado 1 mês após o último depósito, obtenha o valor de .

Passo 1

O enunciado pede para descobrir o valor mensal k que a Sra. Marli deve depositar durante 48 meses num fundo que rende juros compostos de 1,2% ao mês, de forma que, a partir de 1 mês após o último depósito, se possam sacar R$,1800,00 por mês durante 60 meses.
Conteúdo: séries uniformes (anuidades) em juros compostos. Vamos usar a fórmula do valor futuro de uma série de depósitos e a fórmula do valor presente de uma série de saques.

Passo 2

Calcular o montante acumulado no instante imediatamente após o 48.º depósito (mês 48). Para uma anuidade imediata de n=48 depósitos de valor k a uma taxa i=0,012 ao mês, o valor futuro é
S = k ,(1+i)^48-1i

Passo 3

Calcular o valor, também no mês 48, dos 60 saques de R$,1800 que começam um mês depois. Para uma anuidade imediata de m=60 pagamentos de P=1800 a cada mês, o valor presente é
V = 1800 ,1 - (1+i)^-60i

Passo 4

Para que o fundo seja exatamente consumido pelos saques, igualamos o montante acumulado aos saques trazidos a valor no mês 48:
k ,(1+i)^48-1i = 1800 ,1 - (1+i)^-60i
Cancelando 1/i em ambos os lados e isolando k, obtemos
k = 1800 ;1 - (1+i)^-60(1+i)^48-1

Passo 5

Substituindo i=0,012:
(1,012)^48approx1,7726, (1,012)^60approx2,0455 ;Longrightarrow; (1,012)^-60approx0,4888
Logo,
1 - (1,012)^-60approx0,5112, (1,012)^48-1approx0,7726,
k approx 1800;0,51120,7726approx1800times0,6619approx1191,5

Resposta

kapprox R$,1192,00.

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