(F.C.M.Sta.Casa-80) A sucessão S dos números 1,5,13,25, \ldots, a_{k}, \ldots, possui a propriedade de que as diferenças:
d_{k}=a_{k+1}-a_{k}, \operatorname{com} \mathrm{k}=1,2,3, \ldots
formam uma progressão aritmética. O 30^{\circ} termo de S é:
a) 120
b) 117
c) 871
d) 1741
e) impossivel de ser calculado.

Passo 1

O enunciado dá a sucessão S\colon a_{1}=1,\;a_{2}=5,\;a_{3}=13,\;a_{4}=25,\dots e diz que as diferenças
d_{k}=a_{k+1}-a_{k},\quad k=1,2,3,\dots
formam uma progressão aritmética (PA). O conteúdo é reconhecer essa PA de diferenças e usar a soma de termos de PA para obter a fórmula geral de a_{n}.

Passo 2

Calculemos as primeiras diferenças explícitas:
d_{1}=a_{2}-a_{1}=5-1=4,\quad d_{2}=a_{3}-a_{2}=13-5=8,\quad d_{3}=a_{4}-a_{3}=25-13=12.
Como 4,8,12 é uma PA de razão constante, a razão é
r = d_{2}-d_{1}=8-4=4.

Passo 3

Numa PA com termo inicial d_{1}=4 e razão r=4, o k-ésimo termo é
d_{k}=d_{1}+(k-1)\,r=4+(k-1)\cdot4=4k.

Passo 4

Usamos agora que
a_{n}=a_{1}+\sum_{i=1}^{n-1}d_{i}
e substituímos d_{i}=4i:
a_{n} =1+\sum_{i=1}^{n-1}4i =1+4\cdot\frac{(n-1)n}{2} =1+2n(n-1) =2n^{2}-2n+1.

Passo 5

Para n=30,
a_{30}=2\cdot30^{2}-2\cdot30+1=2\cdot900-60+1=1800-60+1=1741.

Resposta

d) 1741

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