(UFSCar-02) A soma dos cinco primeiros termos de uma PA vale 15 e o produto desses termos é zero. Sendo a razão da PA um número inteiro e positivo, o segundo termo dessa sequência valc
a) 0 .
b) 1 .
c) 2 .
d) 3 .
e) 4 .

Passo 1

O enunciado fala de uma progressão aritmética (PA) com cinco termos cujos somatório é 15 e cujo produto é zero. A razão r é um inteiro positivo. Queremos encontrar o segundo termo dessa PA, que chamaremos de a_2.

Passo 2

Seja a o primeiro termo. Os cinco termos são
a,\;a+r,\;a+2r,\;a+3r,\;a+4r.
O somatório desses termos vale
S_5 = a + (a+r) + (a+2r) + (a+3r) + (a+4r) = 5a + 10r.
Como S_5 = 15, temos
5a + 10r = 15 \qquad\Longrightarrow\qquad a + 2r = 3 \qquad\Longrightarrow\qquad a = 3 - 2r.

Passo 3

O produto dos cinco termos é zero, ou seja,
a \,(a+r)\,(a+2r)\,(a+3r)\,(a+4r) = 0,
logo algum dos fatores é zero. Isso significa que existe um inteiro k\in\{0,1,2,3,4\} tal que
a + kr = 0.
Substituindo a = 3 - 2r, essa condição fica
3 - 2r + kr = 0 \quad\Longrightarrow\quad r(k-2) = -3.

Passo 4

Como r é inteiro positivo e divide -3, as opções para r são 1 ou 3:
  • Se r = 1, então k - 2 = -3 k=-1, mas isso não está em \{0,1,2,3,4\}.
  • Se r = 3, então k - 2 = -1 k=1, que é válido.
Portanto a única solução inteira positiva é r=3 e k=1.

Passo 5

O valor k=1 indica que o termo zero é o segundo termo da PA, pois a + 1\cdot r = 0. Logo
a_2 = a + r = 0.

Resposta

0

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