Quais substituições são utilizadas às vezes para transformar binômios quadráticos no quadrado de um único termo? Por que você pode querer fazer tal mudança?
Passo 1
O enunciado pergunta quais trocas de variável (substituições) costumamos usar para reescrever um binômio quadrático
como o quadrado de um único termo mais uma constante. O conteúdo é o completamento do quadrado, e vamos precisar da ideia de deslocar
de modo a anular o termo linear.
Passo 2
Partimos de
Fatoramos
nos dois primeiros termos:
Agora fazemos a substituição
ou equivalentemente
Essa troca desloca o vértice da parábola para a origem em
.
Passo 3
Substituindo
em
, temos
de modo que
Portanto o binômio vira o quadrado
mais uma constante.
Passo 4
Fazemos essa mudança porque:
- Em equações quadráticas, facilita achar raízes (vértice em
). - Em integrais com polinômios quadráticos, reduz ao caso de
. - Em geometria de cônicas, evidencia o vértice e a abertura da parábola.
- Em estatística, é a base para manipular expressões da distribuição normal.
Resposta
As substituições típicas são
transformando
Faz-se isso para simplificar resolução de equações, cálculo de integrais e análise da forma canônica de parábolas ou funções quadráticas.