Quais substituições são utilizadas às vezes para transformar binômios quadráticos no quadrado de um único termo? Por que você pode querer fazer tal mudança?

Passo 1

O enunciado pergunta quais trocas de variável (substituições) costumamos usar para reescrever um binômio quadrático
ax^2 + bx + c
como o quadrado de um único termo mais uma constante. O conteúdo é o completamento do quadrado, e vamos precisar da ideia de deslocar x de modo a anular o termo linear.

Passo 2

Partimos de
ax^2 + bx + c.
Fatoramos a nos dois primeiros termos:
ax^2 + bx + c \;=\; a\Bigl(x^2 + \frac{b}{a}x\Bigr) + c.
Agora fazemos a substituição
u = x + \frac{b}{2a},
ou equivalentemente
x = u - \frac{b}{2a}.
Essa troca desloca o vértice da parábola para a origem em u.

Passo 3

Substituindo x = u - \tfrac{b}{2a} em
\;x^2 + \tfrac{b}{a}x, temos
\bigl(u - \tfrac{b}{2a}\bigr)^2 + \frac{b}{a}\Bigl(u - \tfrac{b}{2a}\Bigr) = u^2 - \frac{b^2}{4a^2}\,,
de modo que
ax^2 + bx + c = a\,u^2 - a\frac{b^2}{4a^2} + c = a\,u^2 + \Bigl(c - \frac{b^2}{4a}\Bigr).
Portanto o binômio vira o quadrado a\,u^2 mais uma constante.

Passo 4

Fazemos essa mudança porque:
  1. Em equações quadráticas, facilita achar raízes (vértice em u=0).
  2. Em integrais com polinômios quadráticos, reduz ao caso de \int u^2\,du.
  3. Em geometria de cônicas, evidencia o vértice e a abertura da parábola.
  4. Em estatística, é a base para manipular expressões da distribuição normal.

Resposta

As substituições típicas são
u = x + \frac{b}{2a} \quad\text{ou}\quad x = u - \frac{b}{2a},
transformando
ax^2 + bx + c \quad\longrightarrow\quad a\,u^2 + \Bigl(c - \frac{b^2}{4a}\Bigr).
Faz-se isso para simplificar resolução de equações, cálculo de integrais e análise da forma canônica de parábolas ou funções quadráticas.

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