Suponha que A seja um subconjunto de V^{*}, em que V é um alfabeto. Demonstre ou mostre que não é válida cada uma destas afirmações.
se A=A^{2}, então \lambda \in A

Passo 1

O enunciado trabalha com linguagens sobre um alfabeto V. Para uma linguagem A\subseteq V^{*}, define-se
A^{2} = \{\,uv \mid u\in A,\;v\in A\}.
A afirmação a ser testada é: “se A = A^{2}, então \lambda\in A”.

Passo 2

Para mostrar que a implicação não vale em geral, basta achar um contra-exemplo onde A = A^{2} mas \lambda\notin A.

Passo 3

Tome A = \varnothing. Então
A^{2} = \{\,uv \mid u\in\varnothing,\;v\in\varnothing\} = \varnothing,
logo A = A^{2}. Contudo \lambda\notin\varnothing. Isso refuta a afirmação original.

Resposta

A afirmação não é válida: um contra-exemplo é A=\varnothing, pois aí A=A^{2} mas \lambda\notin A.

Exercícios de Livros Relacionados