Um tanque hemisférico de diâmetro 10 pés esta cheio de gasolina pesando 60 libras por pé cúbico. Calcular o trabalho nessário para alçar a gasolina até o bordo do tanque.

Resp. 9375 \pi libras por pé

Passo 1

O enunciado pede o trabalho necessário para elevar toda a gasolina de um tanque hemisférico até o bordo. Temos um hemisfério de diâmetro 10 pés (logo, raio R=5 pés) cheio de gasolina com densidade \rho=60 libras por pé cúbico. Vamos usar um elemento de volume em forma de disco horizontal e integrar o trabalho de cada disco.

Passo 2

Escolhemos um eixo vertical y com origem no bordo do tanque e sentido para baixo, de modo que o fundo do hemisfério fica em y=-5 pés e o bordo em y=0.
Um disco a uma altura y (onde -5\le y\le0) tem raio
r(y)=\sqrt{R^2 - y^2} = \sqrt{25 - y^2},
área A(y)=\pi\bigl(25 - y^2\bigr) e espessura \mathrm{d}y, logo o volume elementar é
\mathrm{d}V = A(y)\,\mathrm{d}y = \pi\bigl(25 - y^2\bigr)\,\mathrm{d}y.

Passo 3

O peso desse disco vale
\mathrm{d}W_{\text{peso}} = \rho\,\mathrm{d}V = 60\,\pi\bigl(25 - y^2\bigr)\,\mathrm{d}y.
Para elevar esse disco até o bordo (nível y=0), a distância a percorrer é -y. Assim, o trabalho para esse disco é
\mathrm{d}W = \mathrm{d}W_{\text{peso}}\times(\text{distância}) = 60\,\pi\bigl(25 - y^2\bigr)\,(-y)\,\mathrm{d}y.â

Passo 4

O trabalho total é a integral de \mathrm{d}W de y=-5 até y=0:
W = \int_{y=-5}^{0} 60\,\pi\bigl(25 - y^2\bigr)(-y)\,\mathrm{d}y = 60\,\pi \int_{-5}^{0} \bigl(-25y + y^3\bigr)\,\mathrm{d}y.

Passo 5

Calculando a integral:
\int \bigl(-25y + y^3\bigr)\,\mathrm{d}y = -\frac{25\,y^2}{2} + \frac{y^4}{4}.
Avaliando de -5 a 0:
\Bigl[-\tfrac{25\,y^2}{2} + \tfrac{y^4}{4}\Bigr]_{-5}^{0} = \Bigl(0\Bigr) - \Bigl(-\tfrac{25\cdot25}{2} + \tfrac{625}{4}\Bigr) = -\bigl(-312{,}5 + 156{,}25\bigr) = 156{,}25.
Multiplicando por 60\pi:
W = 60\,\pi \times 156{,}25 = 9375\,\pi.

Resposta

9375\,\pi libras-pé

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