Um tanque hemisférico de diâmetro 10 pés esta cheio de gasolina pesando 60 libras por pé cúbico. Calcular o trabalho nessário para alçar a gasolina até o bordo do tanque.
Resp.
libras por pé
Passo 1
O enunciado pede o trabalho necessário para elevar toda a gasolina de um tanque hemisférico até o bordo. Temos um hemisfério de diâmetro
pés (logo, raio
pés) cheio de gasolina com densidade
libras por pé cúbico. Vamos usar um elemento de volume em forma de disco horizontal e integrar o trabalho de cada disco.
Passo 2
Escolhemos um eixo vertical
com origem no bordo do tanque e sentido para baixo, de modo que o fundo do hemisfério fica em
pés e o bordo em
.
Um disco a uma altura (onde
) tem raio
Um disco a uma altura
área
e espessura
, logo o volume elementar é
Passo 3
O peso desse disco vale
Para elevar esse disco até o bordo (nível
), a distância a percorrer é
. Assim, o trabalho para esse disco é
Passo 4
O trabalho total é a integral de
de
até
:
Passo 5
Calculando a integral:
Avaliando de
a
:
Multiplicando por
: