22.28 Se theta está em posição canônica e (-1,-4) está sobre seu lado final, encontre as funções trigonométricas de theta.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o enunciado: temos o ângulo theta em posição canônica e o ponto (-1,-4) no seu lado final. Queremos achar as seis funções trigonométricas de theta. O tema aqui é usar as coordenadas do ponto e as definições básicas de seno, cosseno, tangente e suas recíprocas.

Passo 2

Calculamos a distância do ponto à origem, que funciona como “raio” ou hipotenusa no triângulo retângulo formado:
r = raiz(-1)^2 + (-4)^2 = raiz1 + 16 = raiz17

Passo 3

O ponto (-1,-4) está no terceiro quadrante, onde seno e cosseno são negativos e tangente é positiva. Aplicando as definições
sintheta = tfracyr,
costheta = tfracxr
e
tantheta = tfracyx,
obtemos
sintheta = -4raiz17 = -4raiz1717, costheta = -1raiz17 = -raiz1717, tantheta = -4-1 = 4

Passo 4

Agora as funções recíprocas:
csctheta = 1sintheta = -raiz174, sectheta = 1costheta = -raiz17, cottheta = 1tantheta = 14

Resposta

sintheta = -tfrac4raiz1717
costheta = -tfracraiz1717
tantheta = 4
csctheta = -tfracraiz174
sectheta = -raiz17
cottheta = tfrac14

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