Tomando como conjunto universo o conjunto U=R-1, resolva a inequação x+12<x+21-x.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação racional
x+12 < x+21-x
no universo U = Rsetminus1.
O conteúdo é inequação envolvendo frações: vamos passar tudo para um único membro, obter um quociente cujos sinais do numerador e do denominador estudaremos separadamente e, por fim, montar a solução respeitando o domínio.

Passo 2

Colocamos tudo em um lado da inequação:
x+12 - x+21-x < 0
O denominador comum é 2(1-x). Assim, escrevemos
x+12 - x+21-x = (x+1)(1-x) - 2(x+2)2(1-x) < 0

Passo 3

Calculamos o numerador e o denominador separadamente.
O numerador é
N(x) = (x+1)(1-x) - 2(x+2) = x - x^2 +1 - x -2x -4 = -x^2 -2x -3
O denominador é
D(x) = 2(1-x)

Passo 4

Analisamos o sinal de N(x). Note que
N(x) = -(x^2 + 2x + 3)
O discriminante de x^2+2x+3 é
De<a = 2^2 - 4cdot1cdot3 = 4 - 12 = -8 < 0,
logo x^2+2x+3>0 para todo x. Assim, N(x)<0 em R.

Passo 5

Analisamos o sinal de D(x)=2(1-x):
D(x)>0 iff 1-x>0 iff x<1,
e
D(x)<0 iff x>1
Queremos
N(x)D(x)<0
Como N(x)<0 sempre, o quociente é negativo exatamente quando D(x)>0, isto é, para x<1.

Passo 6

Lembrando o domínio xneq1, concluímos que a solução é
x<1

Resposta

(-infty,1)

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