Se x-ax^2+1<x+ax^2, para todo x neq 0, qual é a condição que a satisfaz?

Passo 1

O enunciado pede a condição sobre o parâmetro a para que
x-ax^2+1 < x+ax^2
valha para todo xneq 0. O conteúdo é análise de desigualdades racionais com parâmetro e vamos usar combinação de frações e estudo de sinal.

Passo 2

Subtraindo o segundo termo, temos
x-ax^2+1 - x+ax^2 < 0
Com o denominador comum x^2(x^2+1), o numerador fica
(x - a),x^2 ;-;(x + a),(x^2+1) = -2a,x^2 - x - a

Passo 3

Como x^2(x^2+1)>0 para todo xneq 0, a desigualdade é equivalente a
-2a,x^2 - x - a < 0,
que, multiplicando por -1, vira
2a,x^2 + x + a > 0

Passo 4

Define f(x)=2a,x^2 + x + a. Para que f(x)>0 para todo x, é preciso que o coeficiente líder seja positivo, ou seja 2a>0 (logo a>0), e que o discriminante seja negativo:
De<a = 1 - 8a^2 < 0

Passo 5

Daí a>0 e 1 - 8a^2<0 implica
a^2>18 Longrightarrow a>12raiz2

Resposta

a>tfrac12raiz2.

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