Traçar o gráfico das seguintes funções, lembrando a primeira e a segunda derivadas:
Passo 1
O enunciado pede para traçar o gráfico da função
e, para isso, vamos usar as noções de primeira derivada (para saber onde a função cresce ou decresce) e segunda derivada (para saber a concavidade).
Passo 2
Calcular a primeira derivada usando a regra da cadeia: se
, então
. Aqui
, portanto
Passo 3
Calcular a segunda derivada derivando
. Como
e aplicamos de novo a regra da cadeia,
Passo 4
Analisar a monotonicidade a partir de
:
Isso mostra que a função é estritamente decrescente em todo o domínio.
Passo 5
Analisar a concavidade a partir de
:
Logo, o gráfico é côncavo para cima em todos os pontos.
Passo 6
Determinar pontos notáveis e assíntotas:
– Intercepto com o eixo :
, ou seja, passa por
.
– Limites nas pontas:
– Intercepto com o eixo
– Limites nas pontas:
Daí surge a assíntota horizontal
quando
.
– Domínio: .
– Imagem: .
– Domínio:
– Imagem:
Passo 7
Resumo do formato do gráfico:
– É uma exponencial decrescente que parte de em
, cruza
, tende para zero mas nunca atinge quando
.
– Estritamente decrescente e sempre côncavo para cima.
– Assíntota horizontal em .
– É uma exponencial decrescente que parte de
– Estritamente decrescente e sempre côncavo para cima.
– Assíntota horizontal em
Resposta
O gráfico de
é uma curva decrescente e côncava para cima, com intercepto em
, domínio
, imagem
e assíntota horizontal
para
.