Traçar o gráfico das seguintes funções, lembrando a primeira e a segunda derivadas:
y=e^-2 x

Passo 1

O enunciado pede para traçar o gráfico da função
y = e^-2x
e, para isso, vamos usar as noções de primeira derivada (para saber onde a função cresce ou decresce) e segunda derivada (para saber a concavidade).

Passo 2

Calcular a primeira derivada usando a regra da cadeia: se u(x)=-2x, então ( e^u)'=u', e^u. Aqui u'=-2, portanto
y' = l( e^-2xr)' = -2, e^-2x

Passo 3

Calcular a segunda derivada derivando y'. Como y'=-2, e^-2x e aplicamos de novo a regra da cadeia,
y'' = l(-2, e^-2xr)' = (-2)cdot(-2), e^-2x = 4, e^-2x

Passo 4

Analisar a monotonicidade a partir de y':
y'(x) = -2, e^-2x < 0forall xin R
Isso mostra que a função é estritamente decrescente em todo o domínio.

Passo 5

Analisar a concavidade a partir de y'':
y''(x) = 4, e^-2x > 0forall xin R
Logo, o gráfico é côncavo para cima em todos os pontos.

Passo 6

Determinar pontos notáveis e assíntotas:
– Intercepto com o eixo y: y(0)= e^0=1, ou seja, passa por (0,1).
– Limites nas pontas:
limxto+infty e^-2x = 0, limxto-infty e^-2x = +infty
Daí surge a assíntota horizontal y=0 quando xto+infty.
– Domínio: R.
– Imagem: (0,infty).

Passo 7

Resumo do formato do gráfico:
– É uma exponencial decrescente que parte de +infty em xto-infty, cruza (0,1), tende para zero mas nunca atinge quando xto+infty.
– Estritamente decrescente e sempre côncavo para cima.
– Assíntota horizontal em y=0.

Resposta

O gráfico de y= e^-2x é uma curva decrescente e côncava para cima, com intercepto em (0,1), domínio R, imagem (0,infty) e assíntota horizontal y=0 para xto+infty.

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