As funções cosh x (cosseno hiperbólico) e senh x (seno hiperbólico) são definidas pelas fórmulas:
cosh x=e^x+e^-x2, senh x=e^x-e^-x2
Traçar o gráfico dessas funções e o gráfico da função
tgh x=senh xcosh x
Mostrar que:
senh(x+y)=senh x cosh y+cosh x senh y.

Passo 1

O enunciado nos apresenta as funções hiperbólicas
cosh x = e^x + e^-x2, senh x = e^x - e^-x2,
pede que esbocemos os gráficos de cosh x, de senh x e de
tgh x = senh xcosh x,
e que provemos a fórmula de adição
senh(x+y) = senh x cosh y + cosh x senh y
Vamos usar propriedades de simetria, monotonicidade, limites no infinito e manipulação de exponenciais.

Passo 2

Análise e esboço do gráfico de cosh x.
– Derivada: ddxcosh x = senh x, e senh x>0 para x>0, logo cosh x é crescente em [0,infty) e decrescente em (-infty,0].
– Simetria: cosh(-x)=cosh x, ou seja, é função par.
– Valor mínimo: cosh0=1.
– Comportamento assintótico: para xtopminfty, cosh xsime^|x|2to+infty.
Esboço: curva em “U” com mínimo em (0,1), simétrica e crescimento exponencial nas duas pontas.

Passo 3

Análise e esboço do gráfico de senh x.
– Derivada: ddxsenh x=cosh x>0 para todo x, logo é estritamente crescente.
– Simetria: senh(-x)=-senh x, ou seja, função ímpar.
– Passa pela origem: senh0=0.
– Comportamento assintótico: para xto+infty, senh xsime^x2to+infty; para xto-infty, senh xsim-e^-x2to-infty.
Esboço: curva crescente, passa em (0,0), com caudas que crescem exponencialmente em +infty e em -infty.

Passo 4

Análise e esboço do gráfico de tgh x.
– Definição: tgh x=senh xcosh x.
– Derivada:
ddxtgh x =cosh^2 x - senh^2 xcosh^2 x =1cosh^2 x>0,
logo é estritamente crescente.
– Simetria: ímpar, pois razão de uma ímpar por uma par.
– Limites horizontais:
limxto+inftytgh x=1,
limxto-inftytgh x=-1.
– Passa por (0,0).
Esboço: S suave, monotonicamente crescente, assintotas horizontais y=pm1.

Passo 5

Prova da fórmula de adição senh(x+y)=senh xcosh y+cosh xsenh y.
Usamos as definições em termos de exponenciais:
senh(x+y) =e^x+y-e^-(x+y)2 =e^xe^y - e^-xe^-y2
Agora separamos em dois termos iguais aos produtos:
e^xe^y - e^-xe^-y =(e^x - e^-x)e^y2 + (e^y - e^-y)e^-x2
Isso equivale a
e^x - e^-x2,e^y + e^-y2 ;+;e^y - e^-y2,e^x + e^-x2 =senh xcosh y + cosh xsenh y

Resposta

Os esboços são:
cosh x é uma “U” simétrica (par), mínimo 1 em x=0, cresce exponencialmente.
senh x é ímpar, estritamente crescente, passa em (0,0) e tende a pminfty.
tgh x é ímpar, estritamente crescente, com assíntotas horizontais em y=pm1.
E a fórmula de adição fica confirmada:
senh(x+y)=senh xcosh y+cosh xsenh y

Exercícios de Livros Relacionados