As funções
(cosseno hiperbólico) e
(seno hiperbólico) são definidas pelas fórmulas:
Traçar o gráfico dessas funções e o gráfico da função
Mostrar que:
.
Passo 1
O enunciado nos apresenta as funções hiperbólicas
pede que esbocemos os gráficos de
, de
e de
e que provemos a fórmula de adição
Vamos usar propriedades de simetria, monotonicidade, limites no infinito e manipulação de exponenciais.
Passo 2
Análise e esboço do gráfico de
.
– Derivada: , e
para
, logo
é crescente em
e decrescente em
.
– Simetria: , ou seja, é função par.
– Valor mínimo: .
– Comportamento assintótico: para ,
.
Esboço: curva em “U” com mínimo em , simétrica e crescimento exponencial nas duas pontas.
– Derivada:
– Simetria:
– Valor mínimo:
– Comportamento assintótico: para
Esboço: curva em “U” com mínimo em
Passo 3
Análise e esboço do gráfico de
.
– Derivada: para todo
, logo é estritamente crescente.
– Simetria: , ou seja, função ímpar.
– Passa pela origem: .
– Comportamento assintótico: para ,
; para
,
.
Esboço: curva crescente, passa em , com caudas que crescem exponencialmente em
e em
.
– Derivada:
– Simetria:
– Passa pela origem:
– Comportamento assintótico: para
Esboço: curva crescente, passa em
Passo 4
Análise e esboço do gráfico de
.
– Definição: .
– Derivada:
– Definição:
– Derivada:
logo é estritamente crescente.
– Simetria: ímpar, pois razão de uma ímpar por uma par.
– Limites horizontais:
,
.
– Passa por .
Esboço: S suave, monotonicamente crescente, assintotas horizontais .
– Simetria: ímpar, pois razão de uma ímpar por uma par.
– Limites horizontais:
– Passa por
Esboço: S suave, monotonicamente crescente, assintotas horizontais
Passo 5
Prova da fórmula de adição
.
Usamos as definições em termos de exponenciais:
Usamos as definições em termos de exponenciais:
Agora separamos em dois termos iguais aos produtos:
Isso equivale a
Resposta
Os esboços são:
– é uma “U” simétrica (par), mínimo
em
, cresce exponencialmente.
– é ímpar, estritamente crescente, passa em
e tende a
.
– é ímpar, estritamente crescente, com assíntotas horizontais em
.
E a fórmula de adição fica confirmada:
–
–
–
E a fórmula de adição fica confirmada: