Traçar os seguintes números complexos e determinar o valor absoluto e o argumento de cada um: i,-i, 1+i,-1-i,-2.

Passo 1

O enunciado pede para representar no plano de Argand os números complexos
,i,,-i,;1+i,;-1-i,;-2, e calcular para cada um o módulo e o argumento (valor principal em (-pi,pi]).
Conteúdo: definição de módulo e argumento de um número complexo.

Passo 2

Cada número z=x+iy é associado ao ponto (x,y) no plano complexo. Assim:
i long<=ftrightarrow (0,1), -i long<=ftrightarrow (0,-1), 1+i long<=ftrightarrow (1,1),
-1-i long<=ftrightarrow (-1,-1), -2 long<=ftrightarrow (-2,0)

Passo 3

O módulo de um complexo z=x+iy é
|z| = raizx^2 + y^2
Logo:
|i| = raiz0^2 + 1^2 = 1, |-i| = raiz0^2 + (-1)^2 = 1,
|1+i| = raiz1^2 + 1^2 = raiz2, |-1-i| = raiz(-1)^2 + (-1)^2 = raiz2,
|-2| = raiz(-2)^2 + 0^2 = 2

Passo 4

O argumento principal arg(z) é obtido de arctan(y/x) ajustando-se ao quadrante de (x,y). Assim:
Para i (eixo imaginário positivo) temos arg(i)=tfracpi2.
Para -i (eixo imaginário negativo) temos arg(-i)=-tfracpi2.
Para 1+i (primeiro quadrante)
arg(1+i)=arctan!l(tfrac11r)=tfracpi4
Para -1-i (terceiro quadrante)
arctan!l(tfrac-1-1r)=arctan(1)=tfracpi4,
mas somamos -pi para chegar ao valor em (-pi,pi], logo
arg(-1-i)=-tfrac3pi4.
Para -2 (eixo real negativo) temos o ângulo pi.

Resposta

Para i: |i|=1, arg(i)=tfracpi2
Para -i: |-i|=1, arg(-i)=-tfracpi2
Para 1+i: |1+i|=raiz2, arg(1+i)=tfracpi4
Para -1-i: |-1-i|=raiz2, arg(-1-i)=-tfrac3pi4
Para -2: |-2|=2, arg(-2)=pi

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