Traçar o gráfico das seguintes funções, lembrando a primeira e a segunda derivadas:
.
Passo 1
O enunciado pede para traçar o gráfico de
lembrando as derivadas primeira e segunda.
Conteúdo: análise de domínio, derivadas, monotonia, concavidade e assíntotas verticais.
Conteúdo: análise de domínio, derivadas, monotonia, concavidade e assíntotas verticais.
Passo 2
Analisamos o domínio via
. Como
, temos
ou seja, excluímos os pontos onde
, isto é,
Em cada intervalo livre desses pontos a função está bem definida. Próximo a
,
e
, logo há assíntotas verticais em
.
Passo 3
Calculamos a primeira derivada por cadeia:
Usando as fórmulas de ângulo meio:
obtém-se
Zeros de
ocorrem em
, ou seja
.
Passo 4
Estudamos a monotonia num período típico
.
- Para
, e , logo : função crescente. - Para
, e : função decrescente.
Em cada intervaloa função cresce até ; em decresce até o próximo assíntota.
Passo 5
Calculamos a segunda derivada:
Como
sempre, resulta
em todo o domínio. Portanto o gráfico é sempre côncavo para baixo.
Passo 6
Determinamos o valor máximo local em cada prato: em
,
Assim, em cada intervalo livre de
traçamos um arco que parte de
, cresce até
, e decresce até
, sempre côncavo para baixo.
Resposta
O gráfico consiste em arcos periódicos de período
, com assíntotas verticais em
, crescendo de
até
em
, depois decrescendo de volta a
, e sendo côncavo para baixo em todo o domínio.