Traçar o gráfico das seguintes funções, lembrando a primeira e a segunda derivadas:
y=log (1+cos x).

Passo 1

O enunciado pede para traçar o gráfico de
y = logl(1+cos xr)
lembrando as derivadas primeira e segunda.
Conteúdo: análise de domínio, derivadas, monotonia, concavidade e assíntotas verticais.

Passo 2

Analisamos o domínio via 1+cos x>0. Como cos xin[-1,1], temos
1+cos x>0Long<=ftrightarrow cos x>-1,
ou seja, excluímos os pontos onde cos x=-1, isto é,
x = (2k+1)pi, kinZ
Em cada intervalo livre desses pontos a função está bem definida. Próximo a xto(2k+1)pi^pm, 1+cos xto0^+ e yto-infty, logo há assíntotas verticais em x=(2k+1)pi.

Passo 3

Calculamos a primeira derivada por cadeia:
y' = ddxlogl(1+cos xr) = -sin x1+cos x
Usando as fórmulas de ângulo meio:
1+cos x = 2cos^2x2, sin x = 2sinx2cosx2,
obtém-se
y' = -2sinx2cosx22cos^2x2 = -tanx2
Zeros de y' ocorrem em tanx2=0, ou seja x=2kpi.

Passo 4

Estudamos a monotonia num período típico (-,pi,pi).
  • Para -pi<x<0, x2in(-tfracpi2,0) e tanx2<0, logo y'=-tanx2>0: função crescente.
  • Para 0<x<pi, tanx2>0 e y'<0: função decrescente.
    Em cada intervalo (2kpi-pi,2kpi) a função cresce até x=2kpi; em (2kpi,2kpi+pi) decresce até o próximo assíntota.

Passo 5

Calculamos a segunda derivada:
y'' = ddxl(-tanx2r) = -12sec^2x2
Como sec^2x2>0 sempre, resulta y''<0 em todo o domínio. Portanto o gráfico é sempre côncavo para baixo.

Passo 6

Determinamos o valor máximo local em cada prato: em x=2kpi,
y(2kpi)=logl(1+cos(2kpi)r)=log2
Assim, em cada intervalo livre de (2k+1)pi traçamos um arco que parte de (2kpi-pi,-infty), cresce até (2kpi,log2), e decresce até (2kpi+pi,-infty), sempre côncavo para baixo.

Resposta

O gráfico consiste em arcos periódicos de período 2pi, com assíntotas verticais em x=(2k+1)pi, crescendo de -infty até log2 em x=2kpi, depois decrescendo de volta a -infty, e sendo côncavo para baixo em todo o domínio.

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