Verificar as fórmulas de integração dadas abaixo. As fórmulas (a) até (g) são essencialmente repetições de fórmulas básicas de integração. As demais podem ser reduzidas a essas sete com o emprego apropriado de substituição,
integraçä̃o pờ pårtés, frações parciais, e identidades trigonométricas; achando o resultadó, verificá-lo por derivação.
integral raiza^2-x^2 d x=12[x raiza^2-x^2+a^2 sen^-1 xa]+C

Passo 1

O enunciado pede para calcular e verificar por derivação a integral
integral raiza^2-x^2,dx
usando técnicas de substituição trigonométrica e simplificação de identidades.

Passo 2

Fazemos a substituição trigonométrica clássica
x = asintheta, dx = acostheta,dtheta, raiza^2-x^2 = acostheta
Assim a integral torna-se
integral raiza^2-x^2,dx = integral (acostheta),(acostheta),dtheta = a^2integral cos^2theta,dtheta

Passo 3

Usamos a identidade
cos^2theta = 1+cos2theta2
para obter
a^2integral cos^2theta,dtheta = a^22integral (1+cos2theta),dtheta = a^22l(theta + tfrac12sin2thetar)+C
Como sin2theta=2sinthetacostheta, isso fica
a^22,theta + a^22,sinthetacostheta + C

Passo 4

Voltando a x, temos
theta = sin^-1!l(tfracxar), sintheta = tfracxa, costheta = tfracraiza^2-x^2a
Logo
a^22,theta = a^22,sin^-1!l(tfracxar), a^22,sinthetacostheta = xraiza^2-x^22
Somando, obtemos
integral raiza^2-x^2,dx = 12l[xraiza^2-x^2 + a^2sin^-1!l(tfracxar)r]+C

Passo 5

Para verificar, diferenciamos
F(x)=tfrac12l[xraiza^2-x^2 + a^2sin^-1(x/a)r]
Usando regra do produto e derivada de sin^-1(x/a), chega-se a
F'(x)=raiza^2-x^2,
confirmando que F'(x) é o integrando.

Resposta

boxed integral raiza^2-x^2,dx = 12l[xraiza^2-x^2 + a^2sin^-1!l(tfracxar)r]+C

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