Trace, em um mesmo plano, os gráficos de f(x)=3^x e g(x)=log 3(x).

Passo 1

O enunciado pede para esboçar no mesmo plano cartesiano as funções exponencial f(x)=3^x e logarítmica g(x)=log3(x). O conteúdo envolve funções inversas, análise de domínio, imagem, assíntotas, interceptos e monotonicidade.

Passo 2

Analisando f(x)=3^x:
– Domínio: R.
– Imagem (alcance): (0,infty).
– Intercepto com o eixo y: f(0)=1.
– Assíntota horizontal: y=0.
– Crescimento: função estritamente crescente.
– Pontos notáveis para esboço:
,f(-1)=3^-1=tfrac13,;f(1)=3

Passo 3

Analisando g(x)=log3(x):
– Domínio: (0,infty).
– Imagem: R.
– Intercepto com o eixo x: g(1)=0.
– Assíntota vertical: x=0.
– Crescimento: função estritamente crescente.
– Pontos notáveis para esboço:
,g(3)=1,;gl(tfrac13r)=-1

Passo 4

Como g é a inversa de f, seus gráficos são simétricos em relação à reta y=x. Assim, cada ponto (a,b) de f gera o ponto (b,a) em g.

Passo 5

Para esboçar no mesmo plano:
  1. Desenhe os eixos x e y.
  2. Trace a assíntota horizontal y=0 (para f) e a vertical x=0 (para g).
  3. Marque e ligue suavemente os pontos de f: (-1,tfrac13), (0,1), (1,3) aproximando-se de y=0 à esquerda.
  4. Marque e ligue suavemente os pontos de g: (tfrac13,-1), (1,0), (3,1) aproximando-se de x=0 abaixo.
  5. Verifique a simetria dos dois arcos em torno de y=x.

Resposta

O esboço conjunto mostra duas curvas crescentes: a exponencial f(x)=3^x passando por (-1,tfrac13), (0,1), (1,3) e com assíntota y=0; e a logarítmica g(x)=log3(x) passando por (tfrac13,-1), (1,0), (3,1) e com assíntota x=0. Elas são simétricas em relação à reta y=x.

Exercícios de Livros Relacionados