Num triângulo ABC são dados:
(1) A (-4,3)
(2) M(-4,6) ponto médio de AB
(3) dA C=8
(4) dB C=10
Obtenha o vértice C do triângulo.

Passo 1

O enunciado dá um triângulo ABC com vértice A=(-4,3), diz que M=(-4,6) é o ponto médio de AB, e ainda que as distâncias são ,dAC=8 e ,dBC=10. Para achar C vamos usar (a) a fórmula do ponto médio para localizar B e (b) escrever as equações das circunferências de centros A e B e raios 8 e 10, respectivamente, e então encontrar suas interseções.

Passo 2

Como M é o ponto médio de AB, vale
M = l(xA+xB2,,yA+yB2r)
Logo
-4 + xB2 = -4 , 3 + yB2 = 6
Isto dá xB=-4 e yB=9. Assim
B = (-4,9)

Passo 3

Escrevemos agora as duas circunferências cujas interseções são possíveis posições de C.
Circunferência de centro A e raio 8:
(x+4)^2 + (y-3)^2 = 8^2 = 64
Circunferência de centro B e raio 10:
(x+4)^2 + (y-9)^2 = 10^2 = 100

Passo 4

Subtraindo a primeira equação da segunda, eliminamos o termo (x+4)^2:
l[(x+4)^2 + (y-9)^2r] - l[(x+4)^2 + (y-3)^2r] =100 - 64 = 36
Isto simplifica para
(y-9)^2 - (y-3)^2 = 36 ;Longrightarrow; -12y + 72 = 36 ;Longrightarrow; y = 3

Passo 5

Com y=3, voltamos à equação da circunferência de centro A:
(x+4)^2 + (3-3)^2 = 64 Longrightarrow (x+4)^2 = 64 Longrightarrow x+4 = pm 8
Logo
x = 4 ou x = -12
Assim as duas interseções são C=(4,3) e C=(-12,3).

Resposta

As possíveis coordenadas para o vértice C são (4,3) ou (-12,3).

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