O baricentro de um triângulo é G(23, 13), o ponto médio do lado BC é N(0, 12) e o ponto médio do lado A B é M(12, 2). Determine os vértices A, B, C.

Passo 1

O enunciado dá um triângulo com baricentro Gl(tfrac23,tfrac13r), ponto médio de BC em Nl(0,tfrac12r) e ponto médio de AB em Ml(tfrac12,2r). Queremos encontrar os vértices A, B, C usando as fórmulas:
– ponto médio de P=(xP,yP) e Q=(xQ,yQ) é l(tfracxP+xQ2,tfracyP+yQ2r);
– baricentro de A,B,C é l(tfracxA+xB+xC3,tfracyA+yB+yC3r).

Passo 2

Sejam
A=(xA,yA), B=(xB,yB), C=(xC,yC)
Das definições de ponto médio temos
xB+xC2=0, yB+yC2=12,
xA+xB2=12, yA+yB2=2,
e da definição de baricentro
xA+xB+xC3=23, yA+yB+yC3=13

Passo 3

Das equações de ponto médio isolamos:
xC=-xB, yC=1-yB, xA=1-xB, yA=4-yB

Passo 4

Substituindo em xA+xB+xC=2 (que equivale a xA+xB+xC3=23) obtemos
(1-xB)+xB+(-xB)=2implies 1-xB=2implies xB=-1
Análogo em yA+yB+yC=1 (pois yA+yB+yC3=13) dá
(4-yB)+yB+(1-yB)=1implies5-yB=1implies yB=4

Passo 5

Com B=(-1,4) calculamos
A=(1-(-1),,4-4)=(2,0), C=(-(-1),,1-4)=(1,-3)

Resposta

A=(2,0), B=(-1,4), C=(1,-3).

Exercícios de Livros Relacionados