1.1.8 Um triângulo é definido pelos vértices de três vetores A, B e C, que se estendem da origem. Em termos de A, B e C, mostre que a soma vetorial dos lados sucessivos do triângulo (A B+B C+C A) é zero, sendo que o lado A B vai de A a B etc.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dados três vetores de posição A,B,C que definem os vértices de um triângulo, a soma dos vetores correspondentes aos lados sucessivos desse triângulo é nula. O conteúdo aqui é a definição de vetor de lado em termos de vetores de posição e as propriedades de soma e subtração de vetores.

Passo 2

Cada lado do triângulo pode ser expresso subtraindo os vetores de posição finais e iniciais:
O lado de A a B é
AB = B - A,
o lado de B a C é
BC = C - B,
e o lado de C a A é
CA = A - C

Passo 3

Somamos os três vetores de lado e aplicamos a comutatividade e a associatividade da soma vetorial para agrupar termos iguais com sinais opostos:
AB + BC + CA = (B-A) + (C-B) + (A-C) =B-A+C-B+A-C
Reagrupando, vemos que cada vetor aparece uma vez com sinal positivo e uma vez com sinal negativo:
B-B+C-C+A-A=0

Resposta

0

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