1.1.8 Um triângulo é definido pelos vértices de três vetores e , que se estendem da origem. Em termos de e , mostre que a soma vetorial dos lados sucessivos do triângulo é zero, sendo que o lado vai de a etc.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dados três vetores de posição que definem os vértices de um triângulo, a soma dos vetores correspondentes aos lados sucessivos desse triângulo é nula. O conteúdo aqui é a definição de vetor de lado em termos de vetores de posição e as propriedades de soma e subtração de vetores.
Passo 2
Cada lado do triângulo pode ser expresso subtraindo os vetores de posição finais e iniciais:
O lado de a é
o lado de B a C é
BC = C - B,
e o lado de C a A é
CA = A - C
Passo 3
Somamos os três vetores de lado e aplicamos a comutatividade e a associatividade da soma vetorial para agrupar termos iguais com sinais opostos:
AB + BC + CA = (B-A) + (C-B) + (A-C) =B-A+C-B+A-C
Reagrupando, vemos que cada vetor aparece uma vez com sinal positivo e uma vez com sinal negativo:
B-B+C-C+A-A=0
Resposta
0
Cálculo - George Arfken - Métodos Matemáticos para Engenharia e Física - 7ª Edição - Capítulo 1.1 - Ex. 1.1.8