1.1.8 Um triângulo é definido pelos vértices de três vetores \mathbf{A}, \mathbf{B} e \mathbf{C}, que se estendem da origem. Em termos de \mathbf{A}, \mathbf{B} e \mathbf{C}, mostre que a soma vetorial dos lados sucessivos do triângulo (A B+B C+C A) é zero, sendo que o lado A B vai de A a B etc.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dados três vetores de posição \mathbf{A},\mathbf{B},\mathbf{C} que definem os vértices de um triângulo, a soma dos vetores correspondentes aos lados sucessivos desse triângulo é nula. O conteúdo aqui é a definição de vetor de lado em termos de vetores de posição e as propriedades de soma e subtração de vetores.
Passo 2
Cada lado do triângulo pode ser expresso subtraindo os vetores de posição finais e iniciais:
O lado de A a B é
\overrightarrow{AB} = \mathbf{B} - \mathbf{A},
o lado de B a C é
\overrightarrow{BC} = \mathbf{C} - \mathbf{B},
e o lado de C a A é
\overrightarrow{CA} = \mathbf{A} - \mathbf{C}.
Passo 3
Somamos os três vetores de lado e aplicamos a comutatividade e a associatividade da soma vetorial para agrupar termos iguais com sinais opostos: