1.1.8 Um triângulo é definido pelos vértices de três vetores \mathbf{A}, \mathbf{B} e \mathbf{C}, que se estendem da origem. Em termos de \mathbf{A}, \mathbf{B} e \mathbf{C}, mostre que a soma vetorial dos lados sucessivos do triângulo (A B+B C+C A) é zero, sendo que o lado A B vai de A a B etc.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dados três vetores de posição \mathbf{A},\mathbf{B},\mathbf{C} que definem os vértices de um triângulo, a soma dos vetores correspondentes aos lados sucessivos desse triângulo é nula. O conteúdo aqui é a definição de vetor de lado em termos de vetores de posição e as propriedades de soma e subtração de vetores.

Passo 2

Cada lado do triângulo pode ser expresso subtraindo os vetores de posição finais e iniciais:
O lado de A a B é
\overrightarrow{AB} = \mathbf{B} - \mathbf{A},
o lado de B a C é
\overrightarrow{BC} = \mathbf{C} - \mathbf{B},
e o lado de C a A é
\overrightarrow{CA} = \mathbf{A} - \mathbf{C}.

Passo 3

Somamos os três vetores de lado e aplicamos a comutatividade e a associatividade da soma vetorial para agrupar termos iguais com sinais opostos:
\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CA} = (\mathbf{B}-\mathbf{A}) + (\mathbf{C}-\mathbf{B}) + (\mathbf{A}-\mathbf{C}) =\mathbf{B}-\mathbf{A}+\mathbf{C}-\mathbf{B}+\mathbf{A}-\mathbf{C}.
Reagrupando, vemos que cada vetor aparece uma vez com sinal positivo e uma vez com sinal negativo:
\mathbf{B}-\mathbf{B}+\mathbf{C}-\mathbf{C}+\mathbf{A}-\mathbf{A}=\mathbf{0}.

Resposta

\mathbf{0}

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