9.23 Um triângulo equilátero de lado s está inscrito em um círculo de raio r. (a) Expresse s em função de r.
(b) Expresse a área A do triângulo como uma função de r. (c) Expresse a área A do triângulo como uma função de a, a área do círculo.
Resp. (a) s(r)=r raiz3; (b) A(r)=3 r^2 raiz34; (c) A(a)=3 a raiz34 pi

Passo 1

O enunciado diz que temos um triângulo equilátero de lado (s) inscrito em um círculo de raio (r). Vamos:
– (a) expressar (s) em função de (r);
– (b) expressar a área A do triângulo em função de (r);
– (c) expressar A em função de (a), onde a é a área do círculo.
Para isso vamos usar a geometria do triângulo equilátero (altura e relação com o circuncentro) e as fórmulas de área.

Passo 2

Num triângulo equilátero, a altura (h) satisfaz
h = raiz32,s
e o circuncentro coincide com o centro de massa, que fica a 2/3 de h a partir de um vértice. Assim o raio r do círculo vale
r = 23,h = 23,raiz32,s = raiz33,s
Isolando s,
s = rraiz3

Passo 3

A área de um triângulo equilátero em função de s é
A = s^2raiz34
Substituindo s = rraiz3,
A(r) = l(rraiz3r)^2raiz34 = 3,r^2raiz34

Passo 4

A área do círculo é a = pi r^2, então
r^2 = api
Substituindo em A(r),
A(a) = 3,l(apir)raiz34 = 3araiz34pi

Resposta

(a)
s(r)=rraiz3
(b)
A(r)=3r^2raiz34
(c)
A(a)=3araiz34pi

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