9.23 Um triângulo equilátero de lado
está inscrito em um círculo de raio
. (a) Expresse
em função de
.
(b) Expresse a área
do triângulo como uma função de
. (c) Expresse a área
do triângulo como uma função de
, a área do círculo.
Resp. (a)
; (b)
; (c)
(b) Expresse a área
Resp. (a)
Passo 1
O enunciado diz que temos um triângulo equilátero de lado
inscrito em um círculo de raio
. Vamos:
– (a) expressar em função de
;
– (b) expressar a área do triângulo em função de
;
– (c) expressar em função de
, onde
é a área do círculo.
Para isso vamos usar a geometria do triângulo equilátero (altura e relação com o circuncentro) e as fórmulas de área.
– (a) expressar
– (b) expressar a área
– (c) expressar
Para isso vamos usar a geometria do triângulo equilátero (altura e relação com o circuncentro) e as fórmulas de área.
Passo 2
Num triângulo equilátero, a altura
satisfaz
e o circuncentro coincide com o centro de massa, que fica a
de
a partir de um vértice. Assim o raio
do círculo vale
Isolando
,
Passo 3
A área de um triângulo equilátero em função de
é
Substituindo
,
Passo 4
A área do círculo é
, então
Substituindo em
,
Resposta
(a)
(b)
(c)