Em um triângulo retângulo, a hipotenusa mede 5 e um ângulo interno alpha é tal que tan (alpha)=2. Determine as medidas dos catetos.

Passo 1

O enunciado diz que temos um triângulo retângulo em que a hipotenusa mede 5 e um ângulo agudo alpha satisfaz
tan(alpha)=2.
O conteúdo aqui envolve relações trigonométricas num triângulo retângulo e o Teorema de Pitágoras.

Passo 2

Seja a o cateto oposto a alpha e b o cateto adjacente a alpha. A definição de tangente em triângulo retângulo é
tan(alpha)=ab
Como tan(alpha)=2, segue que
ab=2 Longrightarrow a=2b

Passo 3

Pelo Teorema de Pitágoras, a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa. Logo,
a^2 + b^2 = 5^2 = 25
Substituindo a=2b nessa equação, temos
(2b)^2 + b^2 = 25 Longrightarrow 4b^2 + b^2 = 25 Longrightarrow 5b^2 = 25

Passo 4

Isolando b^2, obtemos
b^2 = 255 = 5 Longrightarrow b = raiz5
Como a=2b, segue
a = 2raiz5

Resposta

Os catetos medem raiz5 e 2raiz5.

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