Em cada caso abaixo, determine o valor das cinco funções trigonométricas restantes, usando identidades.
tan (x)=4 raiz3

Passo 1

O enunciado nos dá tan(x)=4raiz3 e pede as cinco funções trigonométricas restantes. O conteúdo é usar a definição
tan(x)=sin(x)cos(x)
e a identidade pitagórica
sin^2(x)+cos^2(x)=1.
Para ter valores positivos de seno e cosseno, assumimos x no primeiro quadrante (onde tan, sin e cos são todos positivos).

Passo 2

Como tan(x)=cateto opostocateto adjacente=4raiz31, montamos um triângulo retângulo com cateto oposto 4raiz3 e cateto adjacente 1. A hipotenusa h vem de
h=raiz(4raiz3)^2+1^2=raiz48+1=raiz49=7

Passo 3

Usando as definições em função dos lados do triângulo, temos
sin(x)=cateto opostohipotenusa=4raiz37, cos(x)=cateto adjacentehipotenusa=17

Passo 4

As funções recíprocas de sin e cos são
sec(x)=1cos(x)=7, csc(x)=1sin(x)=74raiz3=7raiz312

Passo 5

O cotangente é o recíproco da tangente, logo
cot(x)=1tan(x)=14raiz3=raiz312

Resposta

sin(x)=4raiz37
cos(x)=17
sec(x)=7
csc(x)=7raiz312
cot(x)=raiz312

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