(U.F. Uberlândia-MG) De uma escola de Uberlândia, partiu uma excursão para Caldas Novas com 40 alunos. Ao chegar em Caldas Novas, 2 alunos adoeceram e não frequentaram as piscinas. Todos os demais alunos frequentaram as piscinas, sendo 20 pela manhã e à tarde, 12 somente pela manhã, 3 somente à noite e 8 pela manhã, à tarde e
à noite. Se ninguém frequentou as piscinas somente no período da tarde, quantos alunos frequentaram as piscinas à noite?
a) 16
b) 12
c) 14
d) 18

Passo 1

O enunciado trata de contagem em conjuntos com três períodos de uso das piscinas: manhã ( M), tarde ( A) e noite ( N). Temos 40 alunos, dos quais 2 adoeceram e não frequentaram as piscinas, sobrando 38 que participaram de algum período. São dados:
;12 só de manhã,
;0 só de tarde,
;3 só de noite,
;20 em manhã e tarde (incluindo os que vão também à noite),
;8 nos três períodos.
Queremos encontrar o total de alunos que frequentaram à noite, isto é, lvert Nrvert.

Passo 2

Vamos particionar os 38 alunos em sete regiões do diagrama de Venn:
;x1 = só manhã = 12 ;x2 = só tarde = 0 ;x3 = só noite = 3 ;x12 = manhã e tarde, mas não à noite
;x13 = manhã e noite, mas não à tarde
;x23 = tarde e noite, mas não de manhã
;x123 = nos três períodos = 8
Essas sete regiões somam 38:
12 + 0 + 3 + x12 + x13 + x23 + 8 = 38
Logo
x12 + x13 + x23 = 38 - 23 = 15

Passo 3

Sabemos que lvert Mcap Arvert=20. Essa interseção inclui quem vai só em manhã e tarde ( x12) e quem vai nos três ( x123=8). Então
x12 + 8 = 20 Longrightarrow x12 = 12
Substituindo em x12+x13+x23=15
12 + x13 + x23 = 15 Longrightarrow x13 + x23 = 3

Passo 4

O total de frequentadores à noite é a soma de todas as regiões que incluem N:
lvert Nrvert = x3 + x13 + x23 + x123 = 3 + (x13+x23) + 8 = 3 + 3 + 8 = 14

Resposta

c) 14

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