(U.F. Uberlândia-MG) De uma escola de Uberlândia, partiu uma excursão para Caldas Novas com 40 alunos. Ao chegar em Caldas Novas, 2 alunos adoeceram e não frequentaram as piscinas. Todos os demais alunos frequentaram as piscinas, sendo 20 pela manhã e à tarde, 12 somente pela manhã, 3 somente à noite e 8 pela manhã, à tarde e
à noite. Se ninguém frequentou as piscinas somente no período da tarde, quantos alunos frequentaram as piscinas à noite?
a) 16
b) 12
c) 14
d) 18
à noite. Se ninguém frequentou as piscinas somente no período da tarde, quantos alunos frequentaram as piscinas à noite?
a) 16
b) 12
c) 14
d) 18
Passo 1
O enunciado trata de contagem em conjuntos com três períodos de uso das piscinas: manhã (
), tarde (
) e noite (
). Temos
alunos, dos quais
adoeceram e não frequentaram as piscinas, sobrando
que participaram de algum período. São dados:
só de manhã,
só de tarde,
só de noite,
em manhã e tarde (incluindo os que vão também à noite),
nos três períodos.
Queremos encontrar o total de alunos que frequentaram à noite, isto é, .
Queremos encontrar o total de alunos que frequentaram à noite, isto é,
Passo 2
Vamos particionar os
alunos em sete regiões do diagrama de Venn:
só manhã
só tarde
só noite
manhã e tarde, mas não à noite
manhã e noite, mas não à tarde
tarde e noite, mas não de manhã
nos três períodos
Essas sete regiões somam :
Essas sete regiões somam
Logo
Passo 3
Sabemos que
. Essa interseção inclui quem vai só em manhã e tarde (
) e quem vai nos três (
). Então
Substituindo em
dá
Passo 4
O total de frequentadores à noite é a soma de todas as regiões que incluem
:
Resposta
c)