(UECE-14) Desenvolvendo o determinante abaixo, obtém-se uma equação do segundo grau.
\left|\begin{array}{cccc} 1 & 1 & 1 & 1 \\\\ -x & 0 & 0 & 7 x \\\\ 0 & 5 & 0 & x \\\\ 0 & 0 & 5 & x \end{array}\right|=0
A raiz positiva desta equaçảo é
A) 10 .
B) 15 .
C) 20 .
D) 25 .

Passo 1

O enunciado dá o determinante
\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\[-6pt] -x & 0 & 0 & 7x \\[-3pt] 0 & 5 & 0 & x \\[-3pt] 0 & 0 & 5 & x \end{vmatrix} =0
e pede a raiz positiva da equação de segundo grau resultante. Vamos usar expansão de Laplace pela primeira linha.]

Passo 2

Calculando o menor M_{11} (cofactor da posição (1,1)), temos o determinante 3\times 3
M_{11} = \begin{vmatrix} 0 & 0 & 7x\\\\ 5 & 0 & x\\\\ 0 & 5 & x \end{vmatrix} =7x\cdot\begin{vmatrix}5 & 0\\\ 0 & 5\end{vmatrix} =7x\cdot25 =175x.

Passo 3

O menor M_{12} (posição (1,2)) é
M_{12} = \begin{vmatrix} -x & 0 & 7x\\\\ 0 & 0 & x\\\\ 0 & 5 & x \end{vmatrix} =-x\cdot\begin{vmatrix}0 & x\\\ 5 & x\end{vmatrix} = -x\cdot(-5x) =5x^2.

Passo 4

Os menores M_{13} e M_{14} são, respectivamente,
M_{13} = \begin{vmatrix} -x & 0 & 7x\\\\ 0 & 5 & x\\\\ 0 & 0 & x \end{vmatrix} =(-x)\cdot5\cdot x =-5x^2, \quad M_{14} = \begin{vmatrix} -x & 0 & 0\\\\ 0 & 5 & 0\\\\ 0 & 0 & 5 \end{vmatrix} =-x\cdot5\cdot5 =-25x.

Passo 5

Pela expansão pela primeira linha:
\det = 1\cdot M_{11} - 1\cdot M_{12} + 1\cdot M_{13} - 1\cdot M_{14} =175x - 5x^2 -5x^2 +25x =-10x^2 +200x.
A condição \det=0
-10x^2+200x=0 \;\Longrightarrow\; -10x(x-20)=0 \;\Longrightarrow\; x=0\text{ ou }x=20.
A raiz positiva é 20.

Resposta

20
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