(UEMS-2008) Um vendedor de frutas tinha uma determinada quantidade de melancias. Ao primeiro freguês, vendeu metade do que tinha e mais meia melancia; ao segundo, vendeu metade do que restou e mais meia melancia; ao terceiro freguês voltou a vender metade do que tinha mais meia melancia. Sabendo que o vendedor ficou sem melancias ao vender para estes três fregueses, quantas melancias o vendedor tinha no início?
a) 23
b) 22
c) 12
d) 11
e) 7

Passo 1

O problema diz que o vendedor começa com uma certa quantidade de melancias \displaystyle x. A cada freguês ele vende “metade do que tem mais meia melancia” e, depois de atender três fregueses, fica com zero.
Conteúdo: modelagem por recorrência e método regressivo para achar \displaystyle x.

Passo 2

Quando o vendedor tem \displaystyle N melancias antes de um freguês, ele vende
\frac{N}{2} + \frac12
e sobra
r = N - \Bigl(\frac{N}{2} + \frac12\Bigr) = \frac{N}{2} - \frac12.
Invertendo essa relação, se após a venda sobra r, então
r = \frac{N}{2} - \frac12 \quad\Longrightarrow\quad N = 2\bigl(r + \tfrac12\bigr) = 2r + 1.

Passo 3

Chamando de r_3=0 o número de melancias após o terceiro freguês, temos regressivamente:
r_3 = 0 \quad\Longrightarrow\quad N_3 = 2r_3 + 1 = 1
antes do terceiro freguês;
r_2 = N_3 = 1 \quad\Longrightarrow\quad N_2 = 2r_2 + 1 = 3
antes do segundo freguês;
r_1 = N_2 = 3 \quad\Longrightarrow\quad N_1 = 2r_1 + 1 = 7
antes do primeiro freguês. Logo \displaystyle x = N_1 = 7.

Resposta

e) 7

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