(UERJ-04) Numa sala existem cinco cadeiras numeradas de 1 a 5. Antônio, Bernardo, Carlos, Daniel e Eduardo devem se sentar nestas cadeiras. A probabilidade de que nem Carlos se sente na cadeira 3, nem Daniel na cadeira 4, equivale a:
a) 16 \%
b) 54 \%
c) 65 \%
d) 96 \%
Solução: Alternativa C
Consideremos os seguintes eventos: \mathrm{A}= permutações em que Carlos nāo está sentado na cadeira 3 e B = permutações cm que Daniel nào está sentado na cadeira 4.
Estes eventos estão associados ao espaço amostral que consiste nas permutaçòes livres das 5 pessoas. Observemos que:
p_{\left(A^{c}\right)}=p_{\left(B^{c}\right)}=\frac{n\left(A^{c}\right)}{n(\Omega)}=\frac{4!}{5!}=\frac{1}{5} \Rightarrow p_{(A)}=p_{(B)}=1-p_{\left(A^{c}\right)}=1-\frac{1}{5}=\frac{4}{5}.
Por outro lado p_{(A \cap B)}=\frac{n(A \cap B)}{n(\Omega)}=\frac{5!-3!}{5!}=\frac{19}{20}.
Assim: p_{(1,1)}=p_{(1)}+p_{(m)}-p_{(1) \cdot n)}=\frac{4}{5}+\frac{4}{5}-\frac{19}{20}=\frac{13}{20}=0.65=65 \%.

Passo 1

Resumindo o enunciado: há cinco cadeiras numeradas de 1 a 5 e cinco pessoas (Antônio, Bernardo, Carlos, Daniel e Eduardo) sentam-se aleatoriamente. Queremos a probabilidade de que Carlos não esteja na cadeira 3 e Daniel não esteja na cadeira 4. O conteúdo envolve contagem de permutações e o princípio da inclusão–exclusão.

Passo 2

O espaço amostral \Omega é o conjunto de todas as permutações das 5 pessoas. Logo
\lvert\Omega\rvert = 5! = 120.

Passo 3

Definimos os eventos
A = \{\text{Carlos na cadeira 3}\}, \quad B = \{\text{Daniel na cadeira 4}\}.
Para contá-los:
\lvert A\rvert = 4!, \quad \lvert B\rvert = 4!, \quad \lvert A\cap B\rvert = 3!.

Passo 4

Queremos a probabilidade de A^c\cap B^c, ou seja, nem A nem B. Pelo princípio da inclusão–exclusão:
\lvert A\cup B\rvert = \lvert A\rvert + \lvert B\rvert - \lvert A\cap B\rvert = 24 + 24 - 6 = 42,
\lvert A^c\cap B^c\rvert = \lvert\Omega\rvert - \lvert A\cup B\rvert = 120 - 42 = 78.

Passo 5

A probabilidade buscada é
P(A^c\cap B^c) = \frac{78}{120} = \frac{13}{20} = 0{,}65 = 65\%.

Resposta

65\%

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