(UFC-99) Sejam \alpha e \beta números reais. Suponha que ao desenvolvermos (\alpha x+\beta y)^{5}, os coeficientes dos monômios x^{+} y e x^{3} y^{2} sejam iguais a 240 e 720, respectivamente. Nestas condições, assinale a opção que contém o valor de \alpha / \beta.
a) 1 / 2
b) 3 / 2
c) 1 / 3
d) 3
e) 2 / 3

Passo 1

O enunciado pede o valor de \alpha/\beta sabendo que, ao expandir (\alpha x+\beta y)^{5}, o coeficiente de x^{4}y é 240 e o coeficiente de x^{3}y^{2} é 720. Vamos usar o teorema do binômio de Newton para obter expressões desses coeficientes em função de \alpha e \beta.

Passo 2

Pelo binômio de Newton, o termo geral de (\alpha x+\beta y)^{5} é
\binom{5}{k}(\alpha x)^{k}(\beta y)^{5-k} =\binom{5}{k}\,\alpha^{k}\,\beta^{5-k}\;x^{k}y^{5-k}.
Para o monômio x^{4}y temos k=4, e o coeficiente é
\binom{5}{4}\,\alpha^{4}\,\beta^{1} =5\,\alpha^{4}\beta.

Passo 3

Do enunciado, esse coeficiente vale 240, logo
5\,\alpha^{4}\beta = 240 \quad\Longrightarrow\quad \alpha^{4}\beta = 48.
Para o monômio x^{3}y^{2} (caso k=3), o coeficiente é
\binom{5}{3}\,\alpha^{3}\,\beta^{2} =10\,\alpha^{3}\beta^{2},
que pelo enunciado vale 720, logo
10\,\alpha^{3}\beta^{2} = 720 \quad\Longrightarrow\quad \alpha^{3}\beta^{2} = 72.

Passo 4

Dividindo a segunda equação pela primeira, temos
\frac{\alpha^{3}\beta^{2}}{\alpha^{4}\beta} =\frac{72}{48} \quad\Longrightarrow\quad \frac{\beta}{\alpha} = \tfrac{3}{2}.

Passo 5

Invertemos para obter o que nos pedem:
\frac{\alpha}{\beta} = \frac{2}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{\alpha}{\beta} = \tfrac{2}{3} (opção e).

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