(UFC-05) A sequência de números inteiros positivos a_{1}=1, a_{2}, a_{3} está em
progressâo aritmética com razào positiva. Calcule o menor valor de \mathrm{a}_{1}+ a_{2}+a_{3} para que a equação a_{1} x^{2}+a_{2} x+a_{3} =0 tenha duas raizes reais e distintas.

Passo 1

O enunciado pede os termos \,a_{1},a_{2},a_{3} de uma progressão aritmética de razão positiva, com a_{1}=1, de modo que a equação
a_{1}x^{2}+a_{2}x+a_{3}=0
tenha duas raízes reais e distintas. Vamos usar a caracterização de progressão aritmética e a condição \Delta>0 para raízes reais e distintas.

Passo 2

Seja d\in\mathbb{Z}^{+} a razão da progressão. Então
a_{1}=1,\quad a_{2}=1+d,\quad a_{3}=1+2d.
O somatório dos termos é
S = a_{1}+a_{2}+a_{3} = 1 + (1+d) + (1+2d) = 3 + 3d.

Passo 3

Para que as raízes sejam reais e distintas, o discriminante \Delta deve satisfazer \Delta>0. Aqui
\Delta = a_{2}^{2} - 4\,a_{1}\,a_{3} = (1+d)^{2} - 4\cdot1\cdot(1+2d).
Expandindo e simplificando,
\Delta = 1 + 2d + d^{2} - 4 - 8d = d^{2} - 6d - 3.

Passo 4

Impondo \Delta>0,
d^{2} - 6d - 3 > 0.
As raízes da equação d^{2}-6d-3=0 são
d = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 12}}{2} = 3 \pm 2\sqrt{3},
isto é, aproximadamente -0{,}46 e 6{,}46. Como d é inteiro positivo, a desigualdade só vale para
d > 3 + 2\sqrt{3}\approx6{,}46 \quad\Longrightarrow\quad d_{\min}=7.

Passo 5

Substituindo d=7 em S=3+3d, obtemos
S_{\min} = 3 + 3\cdot7 = 24.

Resposta

24

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