(UFMG-02) Os números a, b e c, nessa ordem, estão em progressão geométrica de razão 4/3. Além disso, a - l, b e c, nessa ordem, estão em progressão aritmética. DETERMINE \mathrm{a}, \mathrm{b} e c.

Passo 1

Resumindo o enunciado: os números a,b,c estão em progressão geométrica de razão 4/3, e os números a-1, b, c estão em progressão aritmética. Para resolver, vamos usar as definições:
– Em PG de razão r: b=ar e c=ar^2.
– Em PA: a diferença entre termos consecutivos é constante, isto é, b-(a-1)=c-b.

Passo 2

Pela PG de razão 4/3 temos
b = \frac{4}{3}\,a,
c = \frac{4}{3}\,b = \frac{4}{3}\,\biggl(\frac{4}{3}a\biggr) = \frac{16}{9}\,a.

Passo 3

Pela PA de termos a-1, b, c, igualamos as diferenças:
b - (a-1) \;=\; c - b.
Substituindo b=\tfrac{4}{3}a e c=\tfrac{16}{9}a,
\frac{4}{3}a - (a-1) \;=\; \frac{16}{9}a - \frac{4}{3}a.

Passo 4

Resolver a equação:
\frac{4}{3}a - a + 1 \;=\; \frac{16}{9}a - \frac{4}{3}a \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{3}a + 1 = \frac{16}{9}a - \frac{12}{9}a \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{3}a + 1 = \frac{4}{9}a
Multiplicando por 9:
3a + 9 = 4a \quad\Longrightarrow\quad a = 9.
Então
b = \frac{4}{3}\cdot 9 = 12,
c = \frac{16}{9}\cdot 9 = 16.

Resposta

a=9,\; b=12,\; c=16.

Exercícios de Livros Relacionados