(UFMG-89) Seja n= ab000 um número não nulo, cujos cinco algarismos são a, b e três zeros. Se n é um quadrado perfeito e é divisível por 3, podese afirmar que a+b é igual a :
a) 1
b) 6
c) 8
d) 9
e) 12

Passo 1

O enunciado dá um número de cinco algarismos da forma ab000, com aneq0, que é quadrado perfeito e divisível por 3. Precisamos achar a soma a+b. Para isso, vamos usar a fatoração de 1000, a escrita
n=ab000=1000,(10a+b)
e a condição de quadrado perfeito (todos os expoentes na fatoração devem ser pares), além da divisibilidade por 3.

Passo 2

Decompondo
1000 = 2^3cdot5^3,
temos então
n = 1000,(10a+b)=2^3cdot5^3cdot m,
onde
m=10a+b
Para que n seja quadrado perfeito, o expoente de cada primo na sua fatoração deve ser par. Em particular, para os primos 2 e 5:
  • o expoente de 2 em n é 3 + e2(m), que deve ser par, logo e2(m) é ímpar;
  • o expoente de 5 em n é 3 + e5(m), que deve ser par, logo e5(m) é ímpar.

Passo 3

Como e2(m) e e5(m) são ímpares e mínimos, concluímos que m é múltiplo de 2^1cdot5^1=10. Logo podemos escrever
m = 10c,
com 1<= c<=9. Agora, em
n = 2^3cdot5^3cdot10c = 2^4cdot5^4cdot c,
os expoentes de 2 e 5 passam a ser pares, desde que c não acrescente fatores 2 ou 5 de expoente ímpar. Como c<=9, os possíveis valores de c que não têm fatores 2 ou 5 em potência ímpar são
cin1,3,4,7,9.
Isso gera
min10,30,40,70,90

Passo 4

O enunciado diz que n é divisível por 3, logo m também deve ser divisível por 3. Dos candidatos acima, restam
m in 30,90
Falta ainda garantir que o expoente de 3 em n seja par. Se m=30, então e3(m)=1 (ímpar) e n não seria quadrado. Se m=90, então e3(m)=2 (par) e funciona.

Passo 5

Assim m=90, o que dá 10a+b=90. Daí a=9 e b=0. Verifica-se que
n = 1000cdot90 = 90,000 = 300^2,
um quadrado perfeito. Portanto
a+b = 9+0 = 9

Resposta

9

Exercícios de Livros Relacionados