(UFMG-89) Seja
ab000 um número não nulo, cujos cinco algarismos são
e três zeros. Se n é um quadrado perfeito e é divisível por 3, podese afirmar que
é igual
:
a) 1
b) 6
c) 8
d) 9
e) 12
a) 1
b) 6
c) 8
d) 9
e) 12
Passo 1
O enunciado dá um número de cinco algarismos da forma
, com
, que é quadrado perfeito e divisível por
. Precisamos achar a soma
. Para isso, vamos usar a fatoração de
, a escrita
e a condição de quadrado perfeito (todos os expoentes na fatoração devem ser pares), além da divisibilidade por
.
Passo 2
Decompondo
temos então
onde
Para que
seja quadrado perfeito, o expoente de cada primo na sua fatoração deve ser par. Em particular, para os primos
e
:
- o expoente de
em é , que deve ser par, logo é ímpar; - o expoente de
em é , que deve ser par, logo é ímpar.
Passo 3
Como
e
são ímpares e mínimos, concluímos que
é múltiplo de
. Logo podemos escrever
com
. Agora, em
os expoentes de
e
passam a ser pares, desde que
não acrescente fatores
ou
de expoente ímpar. Como
, os possíveis valores de
que não têm fatores
ou
em potência ímpar são
.
Isso gera
Isso gera
Passo 4
O enunciado diz que
é divisível por
, logo
também deve ser divisível por
. Dos candidatos acima, restam
Falta ainda garantir que o expoente de
em
seja par. Se
, então
(ímpar) e
não seria quadrado. Se
, então
(par) e funciona.
Passo 5
Assim
, o que dá
. Daí
e
. Verifica-se que
um quadrado perfeito. Portanto