(UFPB-85) Em um triângulo acutângulo ABC , é FALSA a relação:
a) \mathrm{a}=\mathrm{b} \cdot \cos \mathrm{C}+\mathrm{c}, \cos \mathrm{B}
b) b=a \cdot \cos C+c \cdot \cos A
c) \mathrm{c}=\mathrm{a} \cdot \cos \mathrm{B}=\mathrm{b} \cdot \cos \mathrm{A}
d) a^{2}=b^{2}+c^{2}+2 \cdot b \cdot c \cdot \cos A

Passo 1

O enunciado pergunta, em um triângulo acutângulo ABC, qual das quatro fórmulas abaixo é falsa:
a) a = b\cos C + c\cos B
b) b = a\cos C + c\cos A
c) c = a\cos B + b\cos A
d) a^{2} = b^{2} + c^{2} + 2\,b\,c\,\cos A
O conteúdo principal aqui são as fórmulas de projeção (ou teorema de Al-Kashi) e a lei dos cossenos.

Passo 2

Em todo triângulo (em particular acutângulo), as projeções dos lados sobre as direções formadas pelos outros ângulos dão as identidades:
a = b\cos C + c\cos B,\quad b = a\cos C + c\cos A,\quad c = a\cos B + b\cos A.
Essas três estão corretas pois vêm diretamente da definição de cosseno em triângulos projetados.

Passo 3

A lei dos cossenos estabelece que, para qualquer triângulo,
a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2\,b\,c\,\cos A.
Note que o sinal do termo misto é menos.

Passo 4

A opção (d) afirma
a^{2} = b^{2} + c^{2} + 2\,b\,c\,\cos A,
que difere em sinal do correto da lei dos cossenos. Logo, essa é a única fórmula falsa no enunciado.

Resposta

d) a^{2}=b^{2}+c^{2}+2\,b\,c\,\cos A é a relação falsa.

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