(UFPE-94) Assinale na coluna I as afirmativas verdadeiras e na coluna II as falsas.
Considere a função Re Re dada por h(x)=ax^2+ b x, a neq 0. Admita que a imagem de h é o intervalo ( -infty, 4 ). Analise as seguintes afirmações:
00 h(-b / 2 a)=4
11 a>0
224 é o valor mínimo de h
33 o gráfico de h intercepta a reta y=-b^2 / 2 a
44 o gráfico de h passa pela origem

Passo 1

O enunciado define a função hcolon RtoR dada por
h(x)=a x^2 + b x, aneq0,
e diz que a imagem de h é o intervalo (-infty,4).
Para um quadrático ter imagem não limitada abaixo e limitada acima por 4, ele deve ser uma parábola voltada para baixo, com valor máximo 4 no vértice.

Passo 2

O vértice de h ocorre em
xv = -b2a,
e seu valor é
hl(xvr) = al(-tfracb2ar)^2 + bl(-tfracb2ar) = -b^24a
Como esse valor é o máximo de h e vale 4, segue
-b^24a=4

Passo 3

Analisando as afirmativas:
00 h(-b/(2a))=4.
Como vimos, esse é exatamente o valor do vértice e é o máximo 4.
to verdadeira.
11 a>0.
Para a parábola ser voltada para baixo e ter máximo, é necessário a<0.
to falsa.

Passo 4

22 4 é o valor mínimo de h”.
Na verdade, 4 é o valor máximo de h.
to falsa.

Passo 5

33 “O gráfico de h intercepta a reta y=-b^2/(2a)”.
Note que
-b^22a =2l(-b^24ar) =2cdot4=8,
logo a reta horizontal é y=8, acima do máximo 4. Não há interseção.
to falsa.

Passo 6

44 “O gráfico de h passa pela origem”.
Como h(0)=acdot0^2+bcdot0=0, ele passa sim pela origem.
to verdadeira.

Resposta

Coluna I (verdadeiras): 00 e 44
Coluna II (falsas): 11, 22 e 33

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