(Unicap-95) Sejam A, B, C, Re, f: Re Re e g: A B. Assinale as alternativas corretas:
0) Se f(x) >= 0 e g(x) >= 0, então as inequações f(x)>g(x) e [f(x)]^2>[g(x)]^2 são equivalentes.
  1. Se A=B=Re, f(x)=raizx^2 e g(x)=|x|, então f(x)=g(x), para todo x in A.
  2. Se A=B=Re, f(x)=ax+b e g(x)=x, com a, b in Re, a neq 0, então existe x0 in A, tal que f(x0) =g(x0).
  3. Se A=B=Re e f e g são funções injetoras, então gof: Re Re é também injetora.
  4. Se A=B=Re e f(x-1)=2 x+1, então f(x)= 2x.

Passo 1

O enunciado apresenta cinco proposições numeradas de 0 a 4 sobre funções f e g. Precisamos, para cada proposição, usar conceitos de desigualdade, valor absoluto, solução de equação linear, injetividade e mudança de variável em função, decidindo se cada afirmação é verdadeira ou falsa.

Passo 2

Proposição 0: “Se f(x)>= 0 e g(x)>= 0, então as inequações f(x)>g(x) e l(f(x)r)^2>l(g(x)r)^2 são equivalentes.”
Como a função quadrado é estritamente crescente em [0,infty), temos
f(x)>g(x)Long<=ftrightarrow f(x)^2>g(x)^2
sempre que f(x) e g(x) forem não negativos. Logo, a proposição 0 é verdadeira.

Passo 3

Proposição 1: “Sejam f(x)=raizx^2 e g(x)=|x|. Então f(x)=g(x) para todo xinRe.”
Por definição de raiz quadrada principal, raizx^2=|x| para todo xinRe. Assim, f(x)equiv g(x). Logo, a proposição 1 é verdadeira.

Passo 4

Proposição 2: “Se f(x)=ax+b e g(x)=x com aneq0, então existe x0 tal que f(x0)=g(x0).”
Igualando ax+b=x obtém-se (a-1)x=-b. Se aneq1, há solução x=-b/(a-1). Mas se a=1 e bneq0, não há solução. Como a hipótese só exige aneq0, não garante sempre existência de x0. Logo, a proposição 2 é falsa.

Passo 5

Proposição 3: “Se f e g são injetoras em Re, então gcirc f também é injetora.”
A composição de duas funções injetoras é injetora. Portanto, a proposição 3 é verdadeira.

Passo 6

Proposição 4: “Se f(x-1)=2x+1, então f(x)=2x.”
Fazendo t=x-1, temos f(t)=2(t+1)+1=2t+3. Logo, f(x)=2x+3, e não 2x. A proposição 4 é falsa.

Resposta

As alternativas corretas são 0, 1 e 3.

Exercícios de Livros Relacionados