(Unicap-95) Sejam A, B, C,
e g: A
. Assinale as alternativas corretas:
0) Se
e
, então as inequações
e
são equivalentes.
- Se
e
, então
, para todo
.
- Se
,
e
, com
, então existe
, tal que
.
- Se
e f e g são funções injetoras, então gof:
é também injetora.
- Se
e
, então
2x.
0) Se
Passo 1
O enunciado apresenta cinco proposições numeradas de 0 a 4 sobre funções
e
. Precisamos, para cada proposição, usar conceitos de desigualdade, valor absoluto, solução de equação linear, injetividade e mudança de variável em função, decidindo se cada afirmação é verdadeira ou falsa.
Passo 2
Proposição 0: “Se
e
, então as inequações
e
são equivalentes.”
Como a função quadrado é estritamente crescente em , temos
Como a função quadrado é estritamente crescente em
sempre que
e
forem não negativos. Logo, a proposição 0 é verdadeira.
Passo 3
Proposição 1: “Sejam
e
. Então
para todo
.”
Por definição de raiz quadrada principal, para todo
. Assim,
. Logo, a proposição 1 é verdadeira.
Por definição de raiz quadrada principal,
Passo 4
Proposição 2: “Se
e
com
, então existe
tal que
.”
Igualando obtém-se
. Se
, há solução
. Mas se
e
, não há solução. Como a hipótese só exige
, não garante sempre existência de
. Logo, a proposição 2 é falsa.
Igualando
Passo 5
Proposição 3: “Se
e
são injetoras em
, então
também é injetora.”
A composição de duas funções injetoras é injetora. Portanto, a proposição 3 é verdadeira.
A composição de duas funções injetoras é injetora. Portanto, a proposição 3 é verdadeira.
Passo 6
Proposição 4: “Se
, então
.”
Fazendo , temos
. Logo,
, e não
. A proposição 4 é falsa.
Fazendo
Resposta
As alternativas corretas são 0, 1 e 3.