(UFRJ-99) Antônio, Bernardo e Cláudio sairam para tomar chope, de bar em bar, tanto no sábado quanto no domingo. As matrizes a seguir resumem quantos chopes cada um consumiu e como a despesa foi dividida:
S=\left[\begin{array}{lll} 4 & 1 & 4 \\\\ 0 & 2 & 0 \\\\ 3 & 1 & 5 \end{array}\right] \quad \text { e } \quad D=\left[\begin{array}{lll} 5 & 5 & 3 \\\\ 0 & 3 & 0 \\\\ 2 & 1 & 3 \end{array}\right]
S retere-se às despesas de sábado e D às de domingo. Cada elemento a_{i j} nos dá o número de chopes que i pagou para j, sendo Antōnio o número 1, Bernardo o número 2 e Cláudio o número 3 ( a_{i j} representa o clemento da linha i, coluna j de cada matriz). Assim, no sábado Antônio pagou 4 chopes que ele próprio bebeu, 1 chope de Bernardo e 4 de Cláudio (primeira linha de S ).
a) Quem bebeu mais chope no firm de semana
b) Quantos chopes Cláudio ficou devendo para Antônio?

Passo 1

O enunciado dá duas matrizes
S=\begin{pmatrix} 4 & 1 & 4\\\\ 0 & 2 & 0\\\\ 3 & 1 & 5 \end{pmatrix} \quad\text{e}\quad D=\begin{pmatrix} 5 & 5 & 3\\\\ 0 & 3 & 0\\\\ 2 & 1 & 3 \end{pmatrix},
em que S_{ij} (resp.\ D_{ij}) é o número de chopes que a pessoa i pagou para a pessoa j no sábado (resp.\ domingo). Precisamos descobrir:
a) quem bebeu mais chopes no fim de semana;
b) quantos chopes Cláudio ficou devendo para Antônio.

Passo 2

Para saber quem mais bebeu, primeiro somamos sábado e domingo em cada entrada, obtendo uma nova matriz \,T=S+D. Em seguida, para cada pessoa j, somamos a coluna j de T, pois isso dá o total de chopes que ela consumiu (sumarizando todas as vezes em que alguém pagou por ela).
Calculando
T = S + D = \begin{pmatrix} 4+5 & 1+5 & 4+3\\\\ 0+0 & 2+3 & 0+0\\\\ 3+2 & 1+1 & 5+3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 9 & 6 & 7\\\\ 0 & 5 & 0\\\\ 5 & 2 & 8 \end{pmatrix}.
Agora o total de chopes bebidos por cada um é
T_1 = 9 + 0 + 5 = 14,\quad T_2 = 6 + 5 + 2 = 13,\quad T_3 = 7 + 0 + 8 = 15.

Passo 3

Comparando T_1=14, T_2=13 e T_3=15, vemos que quem mais bebeu foi Cláudio (índice 3).

Passo 4

Para saber quantos chopes Cláudio deve a Antônio, olhamos quantos chopes Antônio pagou para Cláudio ( S_{1,3}+D_{1,3}) e quantos chopes Cláudio pagou para Antônio ( S_{3,1}+D_{3,1}):
\text{Antônio\toCláudio} = S_{1,3}+D_{1,3} = 4 + 3 = 7,ôá
\text{Cláudio\toAntônio} = S_{3,1}+D_{3,1} = 3 + 2 = 5.áô
A diferença é o que Cláudio deve para Antônio:
7 - 5 = 2\text{ chopes}.

Resposta

a) Cláudio;
b) 2 chopes.

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